[論文レビュー] Covariant Model Structures and Simplicial Localization

Danny Stevenson|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、単体的集合 $B$ 上の単体的集合における共変モデル構造と、単体簡約 $\Delta/B$ 上の単体的プレシェーブの局所化された射影的モデル構造、および単体的圏 $C[B]$ 上の単体的プレシェーブの局所化された射影的モデル構造を結ぶ、2つの新しいクイレン同値を確立する。単体的局所化を用いて、$B$ が圏のネ载体である場合に還元することで、ルーリエのストレートナイン定理の新たな証明を与える。また、$B$ が圏のネ载体であるとき、ストレートナイン関手がクイレン同値であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we prove that for any simplicial set $B$, there is a Quillen equivalence between the covariant model structure on $\mathbf{S}/B$ and a certain localization of the projective model structure on the category of simplicial presheaves on the simplex category $Δ/B$ of $B$. We extend this result to give a new Quillen equivalence between this covariant model structure and the projective model structure on the category of simplicial presheaves on the simplicial category $\mathfrak{C}[B]$. We study the relationship with Lurie's straightening theorem. Along the way we prove some results on localizations of simplicial categories and quasi-categories.

研究の動機と目的

• . $S/B$ 上の共変モデル構造と、$[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 上の射影的モデル構造の局所化との間のクイレン同値を確立する。
• . これにより、単体的圏 $C[B]$ 上の単体的プレシェーブの射影的モデル構造への同値を拡張し、新たなクイレン同値を提供する。
• . 単体的局所化技術を用いて、$B$ が圏のネ载体である場合に還元することで、ルーリエのストレートナイン定理を再証明する。
• . ストレートナイン関手と単体的圏および準カテゴリの局所化との関係を明確にする。
• . $B = N(C)$ であるとき、ストレートナイン関手 $\mathrm{St}_B$ が自然なホモトピー圏の同型を介してクイレン同値であることを証明する。

提案手法

• . 単体的プレシェーブの射影的モデル構造のダッジの普遍的性質を用いて、$[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ と $S/B$ の間のクイレン随伴を構成する。
• . $\Delta/B$ の初期頂点写像からなる広い部分圏 $W \subset \Delta/B$ に関して、$[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 上の射影的モデル構造を局所化し、$L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ を得る。
• . 左カルタン拡張関手 $\mathrm{Re}$ と特異関手 $\mathrm{Sing}$ が、$L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ と $S/B$ 上の共変モデル構造との間にクイレン同値をなすことを示す。
• . ヨネダ埋め込み $y/B: \Delta/B \to S/B$ の単体的置換 $s(y/B)$ を構成し、$s_!: S/B \to [(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ を定義する。
• . 随伴対 $(s_!, s^*)$ が、$S/B$（共変モデル構造）と $L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$（局所化された射影的モデル構造）との間にクイレン同値をなすことを証明する。
• . 最後の頂点写像 $p_B: N(\Delta/B) \to B$ と誘導される関手 $C[p]: C[N(\Delta/B)] \to C[B]$ を用いて、モデル構造を関連付け、ストレートナイン定理を圏のネ载体の場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . $S/B$ 上の共変モデル構造と、$[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 上の射影的モデル構造の局所化との間にクイレン同値は存在するか？
• RQ2 . $B$ が圏のネ载体である場合に還元することで、単体的局所化技術を用いてストレートナイン定理を再証明できるか？
• RQ3 . 準カテゴリの単体的局所化と、ルーリエの枠組みにおけるストレートナイン関手との関係は何か？
• RQ4 . 局所化された射影的モデル構造を備えた $s_!: S/B \to [(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ がクイレン同値を誘導するか？
• RQ5 . $B = N(C)$ であるとき、ストレートナイン関手 $\mathrm{St}_B$ はクイレン同値か？

主な発見

• . クイレン随伴 $(\mathrm{Re}, \mathrm{Sing})$ が、局所化された射影的モデル構造 $L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ と $S/B$ 上の共変モデル構造との間に降下し、定理 1.1 を証明する。
• . 随伴対 $(s_!, s^*)$ が、$S/B$（共変モデル構造）と $L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$（局所化された射影的モデル構造）との間にクイレン同値をなす。これは定理 1.2 の証明である。
• . $C$ が小さな圏であるとき、ストレートナイン関手 $\mathrm{St}_{N(C)}: S/N(C) \to [C[N(C)], S]$ はクイレン同値である。これは命題 6.3 の証明である。
• . 誘導された左クイレン関手 $p_!: L_S S/N(\Delta/B) \to S/B$ はクイレン同値であり、一般のストレートナイン定理を、圏のネ载体の場合に還元する。
• . 合成関手 $\mathrm{St}_B \circ \phi_!$ は、ホモトピー圏において恒等関手と自然同型である。これは、それがクイレン同値であることを示唆する。
• . 標準的写像 $f: \mathrm{St}_{NC}(NC_c/)(-) \to C[NC](c, -)$ は射影的弱同値であり、DK同値 $\psi: C[NC] \to C$ と合成することで、ホモトピー圏において自然同型が得られる。