[論文レビュー] Covariant Schwarzschild perturbations I: Initial value formulation for scalars of spin-weight -+ 2

Raymond Burston, Anthony W -C Lun|ArXiv.org|Nov 8, 2006

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、シュワルツシルト時空における一次の重力摂動のための共変的・ゲージ不変な初期値定式化を、スピンウェイト ±2 スカラーに焦点を当てて開発する。ビアンキ恒等式から複素ゲージ不変な波動型方程式を構成し、エネルギー運動量源を組み込むことで、重力放射に分離可能な方程式を導出し、1+1+2形式を用いて物理的解釈が明確な適切に定式化された初期値問題を構築する。

ABSTRACT

We consider full perturbations to a covariantly defined Schwarzschild spacetime. By constructing complex quantities, we derive two decoupled, covariant and gauge-invariant, wave-like equations for spin-weighted scalars. These arise naturally from the Bianchi identities and comprise a covariant representation of the Bardeen-Press equations for scalars with spin-weight $\pm2$. Furthermore, the covariant and gauge-invariant 1+1+2 formalism is employed, and consequently, the physical interpretation of the energy-momentum perturbations is transparent. They are written explicitly in terms of the energy-momentum specified on spacelike three-slices. Ultimately, a Cauchy problem is constructed whereby, an initial three-slice may be perturbed by an energy-momentum source, which induces resultant gravitational fields.

研究の動機と目的

• シュワルツシルト時空における重力摂動のための共変的・ゲージ不変な初期値問題を定式化すること。
• 1+1+2 共変形式を用いて、スピンウェイト ±2 スカラーのための分離可能な波動型方程式を導出すること。
• 物理的現実性を高めるために、エネルギー運動量源を摂動方程式に明示的に組み込むこと。
• 3スライスフォリエーションを用いて、エネルギー運動量および重力場摂動の物理的解釈を明確にすること。
• 初期エネルギー運動量摂動から誘導される一次の重力場を数値的に計算可能にするための定式化を実現すること。

提案手法

• 時空を空間的3スライスと2スライスに分解する1+1+2 共変形式を用いて、幾何学的に明確な記述を可能にする。
• 重力電磁的（GEM）テンソルから複素ゲージ不変スカラーを構成し、方程式の分離を実現する。
• 一度縮約されたビアンキ恒等式から波動型方程式を導出し、共変的形式でバリーン＝プレス方程式に還元される。
• 物質摂動から誘導される重力放射をモデル化するために、波動方程式にエネルギー運動量源項を組み込む。
• 1+3および1+1+2分解を用いて、リーマンテンソルおよびエネルギー運動量テンソルを物理的に意味のあるトレースフリー成分に投影する。
• 初期データを空間的3スライスに指定する初期値問題を設定し、エネルギー運動量および重力場摂動の両方を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュワルツシルト時空における重力摂動のための完全に共変的かつゲージ不変な初期値定式化は、どのように構築できるか？
• RQ2 1+1+2形式におけるスピンウェイト ±2 スカラーのバリーン＝プレス方程式の共変的表現は何か？
• RQ3 エネルギー運動量源は、重力摂動の波動方程式にどのように一貫的に組み込むことができるか？
• RQ4 空間的3スライス上でのエネルギー運動量の観点から、重力場摂動の物理的解釈は何か？
• RQ5 初期エネルギー運動量摂動から、重力場の初期データを一貫的にどのように進化させられるか？

主な発見

• 本稿では、複素スピンウェイト付きスカラー X および Y に対して、2つの分離可能でゲージ不変な波動型方程式（113）および（114）を導出し、バリーン＝プレス方程式の共変的表現を実現する。
• 方程式はエネルギー運動量源項 Q および P に対して明示的に結合されており、物質摂動から誘導される重力放射のモデル化を可能にする。
• 1+1+2形式により、エネルギー運動量および重力場摂動の物理的解釈が明確で、幾何学的に整合性のあるものとなる。
• 初期値問題は空間的3スライス上で完全に定式化されており、X、Y およびそれらの時間微分の初期データが指定可能で、数値的進化が可能である。
• 真空中（P=Q=0）では、方程式はスピンウェイト付き球面調和関数を解とする標準的な分離可能な波動方程式に還元される。
• 複素GEMテンソルの構築を用いることで、重力場方程式がうまく分離され、ゲージのあいまいさが回避され、物理的内容が保持される。