[論文レビュー] Cover and Conquer: Augmenting Decompositions for Connectivity Problems.

Arash Haddadan, Alantha Newman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、小さなカットを均等に被覆するサイクルカバーを活用することで、ノード重み付き、部分3次以下、3辺連結グラフにおける接続性問題（TSP や 2EC など）の改善された近似アルゴリズムを提示する。3辺連結、3次、ノード重み付きグラフにおけるTSPに対しては 7/5-近似、2ECに対しては 13/10-近似を達成する。また、至る所 18/19 ベクトルが巡回のインシデントベクトルの凸結合であることも示している。

ABSTRACT

We explore and introduce tools to design algorithms with improved approximation guarantees for edge connectivity problems such as the traveling salesman problem (TSP) and the 2-edge-connected spanning multigraph problem (2EC) on (restricted classes of) weighted graphs. In particular, we investigate decompositions of graphs that cover small-cardinality cuts an even number of times. Such decompositions allow us to design approximation algorithms that consist of augmenting an initial subgraph (e.g. cycle cover or spanning tree) with a cheap addition to form a feasible solution. Boyd, Iwata and Takazawa recently presented an algorithm to find a cycle cover that covers all 3- and 4-edge cuts in a bridgeless, cubic graph with applications to 2EC on 3-edge-connected, cubic graphs [BIT 2013]. We present several applications of their algorithm to connectivity problems on node-weighted graphs, which has been suggested as an intermediate step between graph and general metrics. Specifically, on 3-edge-connected, cubic, node-weighted graphs, we present a $\frac{7}{5}$-approximation algorithm for TSP and a $\frac{13}{10}$-approximation algorithm for 2EC. Moreover, we use a cycle cover that covers all 3- and 4-edge cuts to show that the everywhere $\frac{18}{19}$ vector is a convex combination of incidence vectors of tours, answering a question of Seb{\H{o}}. Extending this approach to input graphs that are 2-edge connected necessitates finding methods for covering 2-edge cuts. We therefore present a procedure to decompose an optimal solution for the subtour linear program into spanning, connected subgraphs that cover each 2-edge cut an even number of times. We use this decomposition to design a simple $\frac{4}{3}$-approximation algorithm for the 2-edge connected problem on subcubic, node-weighted graphs.

研究の動機と目的

• 制限付きの重み付きグラフにおける辺接続性問題（TSP や 2EC など）のより良い近似アルゴリズムの設計を目的とする。
• ボーイド、イワタ、タカザワのサイクルカバー手法を、一般メトリクスとグラフの間の中間モデルであるノード重み付きグラフへと拡張することを目的とする。
• 標準のサイクルカバーが失敗する2辺連結グラフにおける2辺カットの被覆の課題に取り組むため、最適なサブツアーLP解を、各2辺カットを均等に被覆する部分グラフに分解することを目的とする。
• 至る所 18/19 ベクトルが巡回のインシデントベクトルの凸結合であることを確立し、セボが提起した疑問に答えることを目的とする。

提案手法

• すべての3辺および4辺カットを偶数回被覆するサイクルカバーを用いて、TSPおよび2ECの妥当解を構築する。
• 3辺連結、3次、ノード重み付きグラフにサイクルカバー技術を適用し、より良い近似比を達成する。
• 最適なサブツアーLP解を、各2辺カットを偶数回被覆する連結な部分グラフに分割する分解手順を導入する。
• この分解を活用して、部分3次以下、ノード重み付きグラフにおける2ECの4/3-近似アルゴリズムを設計する。
• サイクルカバー枠組みを用いて、至る所 18/19 ベクトルが巡回のインシデントベクトルの凸結合であることを証明する。
• 初期の部分グラフ（例：サイクルカバーまたはスパニングツリー）と低コストの補完を組み合わせて、妥当で近似的に最適な解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなカットを均等に被覆するサイクルカバーは、ノード重み付きグラフにおけるTSPおよび2ECの近似保証を向上させることができるか？
• RQ2 このようなサイクルカバーを用いて、3辺連結、3次、ノード重み付きグラフにおけるTSPおよび2ECの達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 標準のサイクルカバーが失敗する2辺連結グラフ問題において、2辺カットはどのように効果的に処理できるか？
• RQ4 至る所 18/19 ベクトルは巡回のインシデントベクトルの凸結合として表現可能か？そしてこれはTSP近似に何を意味するか？

主な発見

• 3辺連結、3次、ノード重み付きグラフにおけるTSPに対して、すべての3辺および4辺カットを均等に被覆するサイクルカバーを用いた7/5-近似アルゴリズムが達成された。
• 同じクラスのグラフにおける2EC問題に対して、13/10-近似アルゴリズムが開発された。
• 本稿では、至る所 18/19 ベクトルが巡回のインシデントベクトルの凸結合であることを証明し、セボが提起した疑問に答えている。
• 最適なサブツアーLP解を2辺カットを均等に被覆する部分グラフに分解する手法を用いて、部分3次以下、ノード重み付きグラフにおける2ECの4/3-近似アルゴリズムが設計された。
• この分解手法により、2辺カットの処理が可能となり、従来3辺連結グラフに限定されていたアプローチを拡張した。
• この枠組みは、小さなカットの均等被覆が接続性問題の設計の主要な原則であることを示している。