[論文レビュー] Coloring Down: $3/2$-approximation for special cases of the weighted tree augmentation problem

Jennifer Iglesias, R. Ravi|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、重み付き木補強問題（TAP）に対する2つの新しいトップダウン色分けアルゴリズムを提示する。構造的分数線形計画法（LP）解を活用し、有効な制約を追加することで、特殊な場合に3/2-近似解が得られる。葉のみを結ぶ二分木が十分であることを証明し、強化されたLPの極点における不足辺（4/3未満でカバーされる辺）がノード素因数パスを形成することを示し、このようなパスが2つ以下の場合に凸結合分解が可能となり、3/2-近似が達成可能であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the weighted tree augmentation problem (TAP), where the goal is to augment a tree with a minimum cost set of edges such that the graph becomes two edge connected. First we show that in weighted TAP, we can restrict our attention to trees which are binary and where all the non-tree edges go between two leaves of the tree. We then give two different top-down coloring algorithms. Both algorithms differ from known techniques for a 3/2-approximation in unweighted TAP and current attempts to reach a 3/2-approximation for weighted TAP. The first algorithm we describe always gives a 2-approximation for any feasible fractional solution to the natural edge cover LP. When the fractional solution is such that all the edges with non-zero weight are at least $α$, then this algorithm achieves a $2/(1+α)$-approximation. We propose a new conjecture on extreme points of LP relaxations for the problem, which if true, will lead to a constructive proof of an integrality gap of at most 3/2 for weighted TAP. In the second algorithm, we introduce simple valid constraints to the edge cover LP. In this algorithm, we focus on deficient edges, edges covered to an extent less than 4/3 in the fractional solution. We show that for fractional feasible solutions, deficient edges occur in node-disjoint paths in the tree. When the number of such paths is at most two, we give a top-down coloring algorithm which decomposes 3/2 times the fractional solution into a convex combination of integer solutions. We believe our algorithms will be useful in eventually resolving the integrality gap of linear programming formulations for TAP. We also investigate a variant of TAP where each edge in the solution must be covered by a cycle of length three. We give a $Θ(\log n)$-approximation algorithm for this problem in the weighted case and a 4-approximation in the unweighted case.

研究の動機と目的

• 重み付き木補強問題（TAP）の改善された近似アルゴリズムの開発を目的とし、2-近似を超える解法が未解決のまま残っていること。
• TAPにおける自然な木カット被覆LPの整数性ギャップを特定する長年の未解決問題に取り組むこと。
• すべての解の辺が三角形に含まれる必要があるという変種（3TAP）の複雑さを調査すること、特に重み付きおよび重みなしの場合。
• 分数LP解を整数解の凸結合に分解する構成的技法を提供し、より緊密な近似保証を可能とすること。
• 特に次数3の頂点におけるノードベース制約を含む、新たな有効制約をLP緩和に追加することで、整数性ギャップの境界を改善すること。

提案手法

• 著者らは、任意のTAPインスタンスを、葉同士を結ぶリンクのみを含む等価な二分木に還元し、解析を簡素化するとともに構造的洞察を得る。
• 自然なEDGE-LPの任意の妥当な分数解から出発するトップダウン色分けアルゴリズムを導入し、2-近似を保証する。
• 分数解の非ゼロエッジ重みがすべてα以上である場合、アルゴリズムは(2/(1+α))-近似を達成し、αが大きいほど性能が向上する。
• 第二のアルゴリズムは、EDGE-LPにノード制約（NODE-LP）を強化し、各内部ノード（次数3）において、その隣接エッジを少なくとも2つのリンクが被覆することを保証する。
• アルゴリズムは「不足エッジ」（分数解で4/3未満でカバーされるエッジ）に注目し、強化されたLPの極点において、このようなエッジがノード素因数パスを形成することを証明する。
• このような不足パスが2つ以下であるインスタンスでは、分数解の3/2倍以内の整数解の凸結合を構成可能であり、3/2-近似が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しいLPベースの丸め技法を用いて、重み付きTAPの特殊ケースに対して3/2-近似を達成できるか？
• RQ2 強化されたLP緩和（NODE-LP）の極点が示す構造的性質は何か、特に不足エッジに関しては？
• RQ3 不足エッジのノード素因数パスが2つ以下である場合、凸結合分解による構成的3/2-近似が可能か？
• RQ4 新たな有効制約と色分けに基づく丸めスキームを用いて、自然なEDGE-LPの整数性ギャップを3/2に束縛できるか？
• RQ5 すべての解の辺が三角形に含まれる必要がある3TAP変種の近似複雑度は何か？

主な発見

• 本稿では、重み付きTAPインスタンスが、一般性を失わず、葉同士を結ぶリンクのみを含む二分木に還元可能であることを確立している。
• 最初の色分けアルゴリズムは、任意の妥当な分数解から出発し、2-近似を達成する。非ゼロ重みがすべてα以上である場合、(2/(1+α))-近似に改善される。
• 強化されたNODE-LPにおいて、極点における不足エッジ（4/3未満でカバー）がノード素因数パスを形成することを証明した。
• このような不足パスが2つ以下である場合、分数解の3/2倍以内の整数解の凸結合が構成可能であり、3/2-近似が得られる。
• 本稿では、重み付き3TAPがNP ⊆ Pでない限りΩ(log n)-近似困難であることを証明し、集合被覆問題の既知の難易度と一致している。
• 重みなし3TAPについては、単純な貪欲アルゴリズムにより4-近似が得られ、任意の妥当解のコストが少なくとも(n−1)/2以上であることを証明している。