[論文レビュー] Coverage Probability of Random Intervals

Xinjia Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2007

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続的パラメータ空間を持つ離散確率変数によって定義される確率的区間の最小被覆確率を計算する一般理論を構築する。単調な区間推定量に関しては、最悪ケースの被覆確率が離散的点、特に区間の端点および区間境界がパラメータ範囲を crosses する点で達成されることを証明し、二項分布、ポアソン分布、負の二項分布、超幾何分布に対してより正確で、過剰に慎重な推論を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we develop a general theory on the coverage probability of random intervals defined in terms of discrete random variables with continuous parameter spaces. The theory shows that the minimum coverage probabilities of random intervals with respect to corresponding parameters are achieved at discrete finite sets and that the coverage probabilities are continuous and unimodal when parameters are varying in between interval endpoints. The theory applies to common important discrete random variables including binomial variable, Poisson variable, negative binomial variable and hypergeometrical random variable. The theory can be used to make relevant statistical inference more rigorous and less conservative.

研究の動機と目的

• 連続的パラメータを伴う離散分布における確率的区間の最悪ケース被覆確率を分析するための厳密なフレームワークを確立すること。
• 離散的標本分布による古典的信頼区間手法の限界、すなわちしばしば過剰に保守的な被覆を生じることを是正すること。
• 最小被覆確率が達成されるパラメータ値の正確な集合を同定し、最悪ケース性能の正確な計算を可能にすること。
• 二項分布、ポアソン分布、負の二項分布、超幾何分布を含む主要な離散分布への結果の一般化。
• 保守的近似を正確な最悪ケース境界に置き換えることで、標本サイズの決定および統計的推論をより正確に支援すること。

提案手法

• 確率的区間の被覆確率関数がパラメータに関して連続的かつ単峰的であるための理論的条件を導出する。
• 解析の扱いやすさを保証するため、十分統計量 $k$ の関数としての区間境界 $L(k)$ および $U(k)$ に単調性制約を課す。
• 被覆確率の最小値をとる可能性がある候補点として、$a$, $b$、および $L(k)$ や $U(k)$ が $(a,b)$ 内にある点を同定する。
• 集合論的および確率論的議論を用いて、パrameter空間における連続する臨界点の間で被覆確率が単峰的であることを示す。
• 閉区間 $[L,U]$ の正確な下限を計算するために、補助関数 $C(p)$, $C_U(p)$, および $C_L(p)$ を用いる。
• 区間の同値性および確率質量の挙動に関する補題を活用し、パrameter区間全体で被覆確率の単峰性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的パラメータを伴う離散分布において、確率的区間の被覆確率がパラメータ空間のどこで最小値をとるか。
• RQ2 最悪ケース被覆確率を保守的な近似ではなく、正確に計算するにはどうすればよいか。
• RQ3 被覆確率関数がパラメータに関して単峰的であるための条件は何か。
• RQ4 単調な区間推定量に関して、最小被覆確率が有限で計算可能なパラメータ値の集合に限定されるか。
• RQ5 二項分布、ポアソン分布、負の二項分布、超幾何分布などの異なる離散分布へどのように結果を拡張できるか。

主な発見

• 確率的区間の最小被覆確率は、離散的かつ有限の点で達成される：区間の端点 $a$ および $b$、およびある $k$ に対して $L(k) = p$ または $U(k) = p$ となるすべての $p$ 値。
• 単調な $L(k)$ および $U(k)$ に対して、被覆確率 $\Pr\{L(K) < p < U(K) \mid p\}$ は、連続する臨界点の間の $p$ に関して連続的かつ単峰的である。
• 閉区間 $[L,U]$ に対して、被覆確率の下限は、指定された離散的集合上で $\{C(a), C(b)\} \cup \{C_U(p)\} \cup \{C_L(p)\}$ の最小値である。
• この理論は、二項分布、ポアソン分布、負の二項分布、超幾何分布のすべての標準的離散分布に、区間境界の単調性が成り立つ限り適用可能である。
• 正確な最悪ケース被覆確率の計算が可能となり、古典的信頼区間の保守的傾向が軽減される。
• 被覆確率の単峰性により、パラメータ空間における最適化は、有限個の点での評価のみで効率的に実行可能である。