[論文レビュー] Covering monopole map and higher degree in non commutative geometry

Tsuyoshi Kato|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換幾何における Bauer-Furuta の有限次元近似枠組みの被覆空間版を構築し、コンpact四次元多様体の普遍被覆空間上のモノポール写像に対して高次の不変量を確立する。アティヤ＝ヒッチン＝シンガー複体が閉じた範囲を持つこととディラック作用素が可逆であるという条件下で、C∗-代数間の Γ-不変 ∗-準同型を構成し、K理論的写像を誘導する。これは無限次元的かつ非コンパクトな設定への次数理論の一般化を実現する。

ABSTRACT

In this paper we develop analysis of the monopole maps over the universal covering space of a compact four manifold. We induce a property on local properness of the covering monopole map under the condition of closeness of the AHS complex. In particular we construct a higher degree of the covering monopole map when the linearized equation is isomorphic, which induces a homomorphism between K group of the group C^* algebras. It involves non linear analysis on the covering space, which is related to L^p cohomology. We also obtain various Sobolev estimates on the covering spaces. As a possible application, we propose an aspherical version of 10/8 inequality, combining with Singer conjecture on L^2 cohomology. It is satisfied for a large class of four manifolds which includes some complex surfaces of general type.

研究の動機と目的

• コンパクト四次元多様体の普遍被覆空間への Bauer-Furuta の有限次元近似枠組みの拡張。
• モノポール写像を用いた非可換幾何における非アーベル的かつ不変的な次数理論の確立。
• L²コホモロジーとシンガー予想と、予想されるアスpherical版 10/8 不等式との関係の確立。
• 基本群の C∗-代数から被覆モノポール写像の交叉積代数への K理論的準同型の構成。

提案手法

• Lp ソボレフ空間における非線形解析を用いて、コンパクト四次元多様体の普遍被覆空間上のモノポール写像を分析する。
• 被覆モノポール写像の局所的正則性を保証するため、被覆空間上でのアティヤ＝ヒッチン＝シンガー複体が閉じた範囲を持つものと仮定する。
• モノポール写像に有限次元近似技術を適用し、漸近的 Γ-有限近似可能性を活用する。
• 写像による関数の引き戻しを介して、ヒルベルト空間の S∗-代数間の Γ-不変 ∗-準同型を構成する。
• ボット周期性および標準的ボット写像を用いて、C∗-代数枠組みにおける極限構成を定義する。
• K理論的高次次数を有限次元近似の極限として導出し、交叉積 C∗-代数の K群間の写像を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四次元多様体の普遍被覆空間上のモノポール写像に対して、高次不変量を定義できるか？
• RQ2 被覆モノポール写像が位相的不変性に必要な局所的正則構造を有するための条件は何か？
• RQ3 非可換幾何を用いて、Bauer-Furuta枠組みを非コンパクトな被覆空間にどのように拡張できるか？
• RQ4 アスphericalな場合において、アティヤ＝ヒッチン＝シンガー複体の L² コホモロジーと 10/8 不等式の関係は何か？
• RQ5 被覆モノポール写像の K理論的次数は、シーベルグ＝ワトソン不変量の一般化と解釈できるか？

主な発見

• アティヤ＝ヒッチン＝シンガー複体が普遍被覆空間上で閉じた範囲を持つとき、被覆モノポール写像は局所的強く正則である。
• ディラック作用素が可逆であり、AHS複体の第二 L² コホモロジーが自明である条件下で、S∗-代数間の Γ-不変 ∗-準同型が構成される。
• この ∗-準同型は、K∗(C∗(Γ)) から K∗(S∗(H′) ⋊ Γ) への K理論的写像を誘導し、次数を無限次元的かつ不変的設定に一般化する。
• 高次次数は有限次元近似の極限として定義され、漸近的 Γ-有限近似可能性に依存する。
• b¹ = 0 かつ b⁺ ≥ 1 を満たすコンパクト四次元多様体に対して、モノポール写像は次数 0 のシーベルグ＝ワトソン不変量による乗法写像と同型な K理論的写像を誘導する。
• 本枠組みは、アスpherical版 10/8 不等式の予想を支持し、特に一般型の複素表面を含む広範な四次元多様体クラスで検証されている。