[論文レビュー] Covers of Elliptic Curves and the Lower Bound for Slopes of Effective Divisors on $\bar{\mathcal M}_{g}$

Dawei Chen|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、固定された分岐型を持つ1点で分岐する、楕円曲線の$d$次被覆である genus $g$ 曲線の研究を行い、$¯{\mathcal{M}}_g$ にマッピングする1パラメータ族 $Y$ を形成する。モノドロミー作用と正方形タイルの表面との関連を用いて、$Y$ の勾配を計算し、$¯{\mathcal{M}}_g$ 上の有効な除集合の勾配に対する下界を導出し、ブリル・ノーゲンの下界が普遍的な下界ではないこと、および勾配予想に対する新しい反例を提供する。

ABSTRACT

Consider genus $g$ curves that admit degree $d$ covers to elliptic curves only branched at one point with a fixed ramification type. The locus of such covers forms a one parameter family $Y$ that naturally maps into the moduli space of stable genus $g$ curves $\bar{\mathcal M}_{g}$. We study the geometry of $Y$, and produce a combinatorial method by which to investigate its slope, irreducible components, genus and orbifold points. As a by-product of our approach, we find some equalities from classical number theory. Moreover, a correspondence between our method and the viewpoint of square-tiled surfaces is established. We also use our results to study the lower bound for slopes of effective divisors on $\bar{\mathcal M}_{g}$.

研究の動機と目的

• 楕円曲線の$d$次被覆であり、固定された分岐型を持つ1点で分岐する genus $g$ 曲線の族 $Y$ の幾何学的性質を調査すること。
• $Y$ のモノドロミー作用と組み合わせ的技法を用いて、$¯{\mathcal{M}}_g$ 内での $Y$ の勾配を計算すること。
• $Y$ の勾配を $¯{\mathcal{M}}_g$ 上の有効な除集合の勾配に対する下界として用い、長年の勾配予想に挑戦すること。
• 被覆上のモノドロミー作用と正方形タイルの表面におけるバタフライ移動との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 固定された分岐型 $\sigma$ を持つ1点で分岐する、楕円曲線の$d$次被覆として、genus $g$ 曲線の1パラメータ族 $Y$ を構成する。
• $(\alpha,\beta) \mapsto (\alpha\beta, \beta)$ および $(\alpha,\beta) \mapsto (\beta^{-1}, \alpha)$ のような変換を用いて、モノドロミー群作用を適用し、$Y$ の既約性と幾何学的性質を分析する。
• 重み付き連結被覆の組み合わせ的数え上げを用いて、公式 $s(Y) = \frac{Y \cdot \delta}{Y \cdot \lambda}$ を通じて $Y$ の勾配を計算する。
• 被覆上のモノドロミー作用と正方形タイルの表面におけるバタフライ移動との間の対応関係を確立し、代数的幾何とテイヒミュラー力学を結びつける。
• ラマヌジャン微分方程式とモジュラー形式を用いて、勾配計算に用いる数論的恒等式を導出する。
• $g=2$ および $\sigma = (3^1 1^{d-3})$ や $(2^2 1^{d-4})$ の場合に、[HL] の結果を応用して $Y$ の genus と成分数を特に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された分岐型 $\sigma$ を持つ1点で分岐する、楕円曲線の$d$次被覆である genus $g$ 曲線の族 $Y$ の勾配は何か？
• RQ2 $\sigma = (2^2 1^{d-4})$ のような異なる分岐型に対して、$Y$ の既約成分の数はいくつか？特に $d>3$ が奇数の場合。
• RQ3 $Y$ の勾配が $¯{\mathcal{M}}_g$ 上の有効な除集合の勾配に対する下界として使えるか？
• RQ4 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上の有効な除集合の勾配に対する一様な下界は、すべての $g$ に対して存在するか？
• RQ5 被覆上のモノドロミー作用と正方形タイルの表面の力学の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• $g=2$ および $\sigma = (3^1 1^{d-3})$ の場合、$Y$ の勾配は $s(Y) = 6 + \frac{12}{d+1}$ として計算され、$g=10$ のときのブリル・ノーゲンの下界 $6 + \frac{12}{g+1} = 7\frac{1}{11}$ よりも小さくなる。これは勾配予想に対する反例を提供する。
• Teichmüller 曲線 $Y_{2,d,(3^1 1^{d-3})}$ は $d$ が偶数または $d=3$ のとき既約であり、$d>3$ が奇数のときは正確に2つの成分を持つ。
• $\sigma = (2^2 1^{d-4})$ の場合、$d>5$ が奇数のとき $Y$ の成分数は少なくとも2つであるが、正確な数は未だ不明である。
• $Y$ の genus $g(Y)$ は漸近的に3未満の次数で増加し、$g=2$ のとき、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $O(d^{3/2 + \varepsilon})$ で有界であることが [HL] で示されている。
• 本稿では、モノドロミー作用と正方形タイルの表面におけるバタフライ移動との間の対応関係を確立し、[CTM1] の結果を非素数 $d$ に一般化した。
• 除数関数 $\sigma_1(n)$ と $\sigma_3(n)$ を含む数論的恒等式を用いて、勾配計算の正確な公式を導出し、$\sum_{k=1}^{d-1} \sigma_1(k)\sigma_1(d-k) = \left(\frac{1}{12} - \frac{d}{2}\right)\sigma_1(d) + \frac{5}{12}\sigma_3(d)$ が得られる。