[論文レビュー] Cox rings of some symplectic resolutions of quotient singularities

Maria Donten-Bury, Maksymilian Grab|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ℝ^n/G$ のシンプレクティック解体におけるコクサ環の有限生成集合を提案する。ここで $G$ は $ℝ^n$ 上に作用する有限シンプレクティック群である。以前の結果を一般化し、交換子部分群の不変量と単項式評価から生成子を構成し、単項式評価に関するある条件の下でその十分性を証明する。主な貢献は、シンプレクティック解体のコクサ環に対する一様的かつ明示的な記述であり、4次元の例3つ（$S_3$、$K_2 \wr S_2$、および二面体的四面体群 $G_4$）で検証されている。そのうち1つの例はGIT商として実現されている。

ABSTRACT

We investigate Cox rings of symplectic resolutions of quotients of $\mathbb{C}^{2n}$ by finite symplectic group actions. We propose a finite generating set of the Cox ring of a symplectic resolution and prove that under a condition concerning monomial valuations it is sufficient. Also, three 4-dimensional examples are described in detail. Generators of the (expected) Cox rings of symplectic resolutions are computed and in one case a resolution is constructed as a GIT quotient of the spectrum of the Cox ring.

研究の動機と目的

• DBW14で研究された32要素の群を超えて、商特異点のシンプレクティック解体のコクサ環の構成を一般化すること。
• 任意の有限シンプレクティック群 $G$ が $ℝ^n$ をシンプレクティックな反射によって生成する場合、$ℝ^n/G$ のシンプレクティック解体のコクサ環に対して、有限かつ明示的な生成集合を提供すること。
• 交換子部分群 $[G,G]$ と $ab(G) = G/[G,G]$ の作用に基づく理論的枠組みを確立し、単項式評価を通じて不変量と除数類を結びつけること。
• 3つの詳細な4次元例（特にフロップによって関連する複数の解体を含む）において、提案された生成集合を検証すること。
• コクサ環のスペクトルのGIT商を通じて、中心ファイバーと安定性条件の幾何を調査すること。

提案手法

• シンプレクティック解体 $X$ のコクサ環 $ ℝ(X)$ は、$ℝ[V]^{[G,G]}[t_1^{\pm1}, \dots, t_m^{\pm1}]$ の部分環として構成される。ここで $t_i$ はピカールトーラス上の座標である。
• 生成子は、例外的除数 $E_i$ と解体内の曲線 $C_j$ に対応する単項式 $t_1^{E_i \cdot C_1} \cdots t_m^{E_i \cdot C_m}$ からなる。
• 追加の生成子として、$\overline{\phi}_j = \phi_j \cdot \prod_{i=1}^m t_i^{\overline{D}_j \cdot C_i}$ を定義する。ここで $\phi_j$ は $ab(G)$-作用の固有ベクトルであり、$ℝ[V]^{[G,G]}$ 上にある。また $\overline{D}_j$ は $V/G$ 上の除数の厳密な逆像である。
• この構成はマケイ対応と、シンプレクティック反射の共役類に関連する単項式評価 $\nu_i$ に依存しており、除数類と群元を結びつける。
• 提案された生成子がコクサ環全体を生成することを保証するため、単項式評価に関する重要な条件（3.1）を課す。
• 具体的な例では、$ℝ[V]^{[G,G]}$ を不変式環として計算し、$ab(G)$ の固有ベクトルを特定して $\phi_j$ 生成子を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限シンプレクティック群 $G$ に対して、$ℝ^n/G$ のシンプレクティック解体のコクサ環に対して、有限かつ一様な生成集合を構成可能か？
• RQ2 単項式評価 $\nu_i$ が $ℝ(V)^{[G,G]}$ 上に満たすべき条件は何か？ その条件下で、提案された生成集合がコクサ環全体を生成するか？
• RQ3 解体の幾何と位相的性質（例えば中心ファイバー、フロップ）は、コクサ環およびそのGIT商にどのように現れるか？
• RQ4 シンプレクティック解体のコクサ環は、提案された生成子で生成される環のスペクトルのGIT商として実現可能か？
• RQ5 非アーベルなシンプレクティック群に対して、4次元におけるコクサ環の構造とその生成子をどの程度明示的に計算可能か？

主な発見

• $S_3$ の場合、提案された生成集合は有限かつ十分であり、解体は一意的である。コクサ環は $t_1^{-2}t_2$、$t_1t_2^{-2}$ および適切な単項式補正を施した固有ベクトル $\phi_j$ によって生成される。
• $K_2 \wr S_2 \cong D_8$ の場合、2つのシンプレクティック解体が存在し、フロップによって異なっている。両方の解体がコクサ環のスペクトルのGIT商として実現されており、明示的な解析により滑らかさと安定性が確認された。
• $D_8$ の解体の中心ファイバーは、ピカールトーラスがコクサ環のスペクトル上で作用することによって記述され、フロップと整合的な構造を示している。
• 二面体的四面体群 $G_4$ の場合、提案された生成集合は計算されたが、単項式評価に関する条件（3.1）は複雑さのため未検証のままである。
• すべての例において、コクサ環の生成子は明示的に $t_1^{E_i \cdot C_1} \cdots t_m^{E_i \cdot C_m}$ および $\phi_j \cdot \prod t_i^{\overline{D}_j \cdot C_i}$ として計算され、$ab(G)$-作用の固有ベクトル $\phi_j$ を用いる。また、環の構造が期待される解体幾何と整合的であることが示された。