[論文レビュー] Coxeter groups and Kähler groups

Pierre Py|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、カーラー群からコックスター群への準同型を調査し、次を証明する。次元が2以上のコンパクトな複素双曲的格子は、コックスター群や右回転アーティン群に埋め込むことはできない。主な結果は、このような格子が、アーベル群と曲面群のオーロリッドの積に因子分解する有限指数部分群を持つ必要があることであり、これら群のクラスにおける埋め込みの性質を制限する。

ABSTRACT

We study homomorphisms from Kähler groups to Coxeter groups. As an application, we prove that a cocompact complex hyperbolic lattice (in complex dimension at least 2) does not embedd into a Coxeter group or a right-angled Artin group. This is in contrast with the case of real hyperbolic lattices.

研究の動機と目的

• カーラー群からコックスター群への準同型の構造を理解すること。
• コンパクトな複素双曲的格子がコックスター群や右回転アーティン群に埋め込めるかどうかを特定すること。
• このような埋め込みを許すカーラー群の有限指数部分群にかかる制約を確立すること。
• 表面群とアーベル群の直積の部分群に関する群論的結果を応用し、可能な埋め込みを制約すること。

提案手法

• コンパクトなカーラー多様体の有限被覆を用いて、コックスター群への準同型の構造を分析すること。
• 問題を、双曲的2-オーロリッドへのファイブレーションおよびその基本群の解析に還元すること。
• ブリッドソン、ハウイ、ミラー、ショートによる、表面群と自由アーベル群の直積の部分群に関する結果の適用。
• 忠実な準同型がアーベル化および双曲的2-オーロリッドのオーロリッド基本群を通じて因子分解することの事実を活用すること。
• 右回転アーティン群が右回転コックスター群に埋め込めるという事実を活用し、結果をRAAGに拡張すること。
• 代わりの証明技法として、単純なリー群におけるザリスキの再帰的性質および正規部分群の交差性を応用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が2以上のコンパクトな複素双曲的格子は、コックスター群に埋め込めるか？
• RQ2 カーラー群がコックスター群への準同型を許す場合、どのような構造的制約が生じるか？
• RQ3 カーラー群がコックスター群または右回転アーティン群と可換同型（commensurable）であるための条件は何か？
• RQ4 カーラー群と可換同型なコックスター群の無限大の非ユークリッド的因子は、表面群またはアーベル群の有限指数部分群を必ず持つか？
• RQ5 カーラー群が表面群とアーベル群の直積に埋め込まれる場合、その埋め込みが単一の因子に制限されるか？

主な発見

• 任意のカーラー群の有限指数部分群がコックスター群へ写像する場合、その準同型は、そのアーベル化と、有限個の双曲的2-オーロリッドのオーロリッド基本群の積を通じて因子分解される。
• 次元 ≥2 のコンパクトな複素双曲的格子は、いかなるコックスター群に対しても忠実な準同型をもたない。
• カーラー群と可換同型な右回転アーティン群は、必ず可換な部分群を持つため、実際にはアーベル群そのものである。
• カーラー群と可換同型なコックスター群の無限大の非ユークリッド的因子は、必ず表面群に同型な有限指数部分群を持つ必要がある。
• カーラー群は、非アーベル自由群とアーベル群の直積に同型にはなれないため、特定の直積への埋め込みが排除される。
• 右回転アーティン群への結果は、右回転アーティン群が右回転コックスター群に埋め込めるという事実により拡張され、このような群はコンパクトな複素双曲的格子を含まないことが示された。