[論文レビュー] Every Coxeter group acts amenably on a compact space

Alexander Dranishnikov, Tadeusz Januszkiewicz|ArXiv.org|Nov 30, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 67

ひとこと要約

この論文は、ツリーの有限個の直積に等長埋め込みを用いて、すべてのコクセター群が性質Aを有することを示すことにより、すべてのコクセター群がコンパクト空間上でアーメンに作用することを証明している。主な結果は、すべてのコクセター群がヒグソン＝ロウアーメンであることを示しており、これはヒルバート空間への粗い埋め込みを許容することを意味する。

ABSTRACT

Coxeter groups admit amenable actions on compact spaces. Moreover, they have finite asymptotic dimension.

研究の動機と目的

• すべてのコクセター群がコンパクト空間上で位相的にアーメンな作用をもつことを確立すること。
• すべてのコクセター群が性質Aを満たすことを確認することにより、ヒグソン＝ロウアーメン性を証明すること。
• 任意のコクセター群の語距離空間が性質Aを有することを示すこと。
• ツリーの直積への埋め込みを用いて、任意のコクセター群の漸近次元が有限であることを示すこと。

提案手法

• コクセター群 $\Gamma$ に対して、$\Gamma$ による適切で等長的な作用をもつデイヴィス複体 $C(\Gamma)$ を構成する。
• $\Gamma_0 \triangleleft \Gamma$ を torsion-free 正規部分群として選び、$C(\Gamma)$ からツリーの直積 $\prod T_h$ への $\Gamma_0$--equivariant 写像 $\mu$ を定義する。
• 各ツリー $T_h$ を、反射の固定集合（鏡の $\Gamma_0$-軌道の補集合）の双対グラフとして定義し、各 $T_h$ がツリーであることを示す。
• $\mu$ が $\Gamma$-equivariant な埋め込みであり、直積の $l_1$-距離が $\Gamma$ 上の語距離と一致することを証明する。
• ツリーが性質Aを有すること、および性質Aを有する空間の直積と部分集合もまた性質Aを有することを用いる。
• 有限生成群においてヒグソン＝ロウアーメン性と性質Aが同値であることを応用し、作用のアーメン性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのコクセター群はコンパクト空間上で位相的にアーメンな作用をもつか？
• RQ2 コクセター群の語距離空間が性質Aを有することを示せるか？
• RQ3 コクセター群の漸近次元は有限か？
• RQ4 コクセター群を $l_1$-距離を伴うツリーの有限個の直積に等長埋め込めるか？
• RQ5 このような埋め込みの存在が、ヒグソン＝ロウアーメン性を意味するか？

主な発見

• すべてのコクセター群 $\Gamma$ は、$l_1$-距離を伴うツリーの有限個の直積への $\Gamma$-equivariant な等長埋め込みをもつ。
• この埋め込みによる $\Gamma$ の像は、ツリーの直積の頂点集合に正確に含まれる。
• 直積上の $l_1$-距離は、$\Gamma$ 上の語距離と一致し、群の元において等長性が保たれる。
• ツリーが性質Aを有し、性質Aは有限直積および部分集合においても保存されるため、直積空間も性質Aを有する。
• その結果、$\Gamma$ の基本的な距離空間は性質Aを有する。これは $\Gamma$ がヒグソン＝ロウアーメンであることを意味する。
• 任意のコクセター群の漸近次元は有限である。なぜなら、それは漸近次元が1以下のツリーの有限個の直積に等長埋め込まれるからであり、漸近次元は直積において部分加法的である。