[論文レビュー] Coxeter-like groups for groups of set-theoretic solutions of the Yang--Baxter equation

Patrick Dehornoy|arXiv (Cornell University)|May 16, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Yang–Baxter方程式の有限、自己逆、非退化な集合論的解に対し、Coxeterに類似した群 W を導入する。この群 W は、構造群 M に対して Garside の原始的構造をなすことが示され、そのカイリ図は M 内の Garside 要素 Δ の因子のハッセ図と同型である。主な結果は、1 → ℤⁿ → G → W → 1 という短完全列であり、W の位数は pⁿ で、Garside ラティスの組合せ的構造を反映する有限商群を提供する。

ABSTRACT

We attach with every finite, involutive, nondegenerate set-theoretic solution of the Yang--Baxter equation a finite group that plays for the associated structure group the role that a finite Coxeter group plays for the associated Artin--Tits group.

研究の動機と目的

• すべての Garside 群が、そのモノイド M に対して Garside の原始的構造をなす有限商群（「Coxeterに類似した群」）を備え、かつその群のカイリ図が Garside 要素 Δ の因子ラティスと同型であるかどうかという未解決問題に応えること。
• Yang–Baxter方程式の有限、自己逆、非退化な集合論的解から生じる構造群に対して、肯定的な答えを提示すること。
• 解のクラスを p とするとき、その解に対し位数 pⁿ の有限群 W を定義し、それが群の Garside 構造を支配することを示すこと。
• 構造モノイド M 内の Garside 要素 Δ の因子のハッセ図と、生成元 X に関する W のカイリ図が同型であることを示すこと。

提案手法

• Π_{p+1}(x,…,x,y) = y を満たす恒等式を用いて、有限 RC-準群のクラス p を定義する。ここで Π_n は再帰的に定義された積である。
• 右巡回法則と I 構造を用い、ℤⁿ からの結果を任意の構造モノイドに拡張する。
• 自由モノイド X 上の同値関係 ≡ を定義する。g ≡ h であるとは、それらの ℤⁿ における像が p を法として合同であることを意味する。
• W を商群 G/≡ として定義する。これは、元の群提示に x^{[p]} = 1 の関係を追加することで、提示を引き継ぐ。
• G → W の射影の核が、x ∈ X に対する x^{[p]} によって生成される ℤⁿ と同型であることを示す。
• 商写像 ν を通じて、M 内の Δ の因子のハッセ図と、(W, X) の原始的構造のカイリ図との同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての Garside 群は、そのモノイド M に対して Garside の原始的構造をなす有限商群 W を備え、かつ M の生成元に関するカイリ図が Garside 要素 Δ の因子ラティスと同型であるような W を持つだろうか？
• RQ2 有限、自己逆、非退化な集合論的 YBE 解は、その構造群の Garside 構造を支配する位数 pⁿ の有限群 W と関連づけられるだろうか？
• RQ3 原始的構造 (W, X) のカイリ図は、構造モノイド M 内の Garside 要素 Δ の因子のハッセ図と同型であろうか？
• RQ4 Garside 要素 Δ は解のクラス p とどのように関係しているのか。また、短完全列 1 → ℤⁿ → G → W → 1 におけるその役割は何か？

主な発見

• クラス p の有限、自己逆、非退化な集合論的 YBE 解に対して、その関連する構造群 G は、因子ラティスにちょうど pⁿ 個の要素を持つ Garside 要素 Δ を備える。
• 有限群 W = G/≡ は位数 pⁿ であり、短完全列 1 → ℤⁿ → G → W → 1 に含まれる。ここで ℤⁿ は x ∈ X に対する x^{[p]} によって生成される核である。
• 生成元 X に関する (W, X) の原始的構造のカイリ図は、構造モノイド M 内の Δ の因子のハッセ図と同型である。ただし、長さ加法的積に制限する。
• W の提示は、元の群 G の提示に x^{[p]} = 1 の関係を追加することで得られる。ここで x^{[p]} は x で始まる長さ p の語である。
• Garside 要素 Δ は、ν による写像で ℕⁿ 内の要素 δ = (p, p, ..., p) の像として実現され、Δ はちょうど pⁿ 個の因子を持つ。
• 3 つの生成子 a, b, c と f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a を持つクラス 3 の例では、群 W は 27 個の元を持ち、そのカイリ図は 3 次元の立方体であり、Δ の因子ラティスと一致する。