[論文レビュー] CR-Tractors and the Fefferman Space

Andreas Čap, A. Rod Gover|ArXiv.org|Nov 30, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、CR構造とそれに対応するフェッファーマンの共形空間の間の幾何的関係を明確にするために、統一的なトレクター微分幾何の枠組みを構築する。CRトレクターは、フェッファーマン空間上の共形トレクターであり、ファイバー方向に平行であるものに一致することを示し、不変微分作用素の体系的取り扱いや、twistorスピン角形式やキリング形式の共形不変な過剰決定系に非自明な解が常に存在することを証明する。

ABSTRACT

We develop the natural tractor calculi associated to conformal and CR structures as a fundamental tool for the study of Fefferman's construction of a canonical conformal class on the total space of a circle bundle over a non--degenerate CR manifold of hypersurface type. In particular we construct and treat the basic objects that relate the natural bundles and natural operators on the two spaces. This is illustrated with several applications: We prove that a number of conformally invariant overdetermined systems admit non--trivial solutions on any Fefferman space. We show that the space of conformal Killing fields on a Fefferman space naturally decomposes into a direct sum of subspaces, which admit an interpretaion as solutions of certain CR invariant PDE's. Finally we explicitly analyze the relation between tractor calculus on a CR manifold and the complexified conformal tractor calculus on its Fefferman space, thus obtaining a powerful computational tool for working with the Fefferman construction.

研究の動機と目的

• CR多様体上の自然なバンドルと作用素とそのフェッファーマン共形拡張との間の複雑な関係を解明すること。
• トレクター微分幾何を用いた概念的かつ計算的に効果的なフレームワークを提供し、フェッファーマン構成を研究すること。
• フェッファーマン空間上でのCRトレクター束と共形トレクター束の正確な対応関係を確立すること。
• キリング形式やtwistorスピン角形式の共形不変な過剰決定系のような、共形不変の過剰決定系が、すべてのフェッファーマン空間に非自明な解を有することを示すこと。
• フェッファーマン空間上の無限小共形対称性が、CR不変偏微分方程式の解に分解されることを示し、共形幾何とCR幾何を結びつけること。

提案手法

• 自然なトレクター束と接続を、CR構造と共形構造の幾何的道具として導入・利用すること。
• CR標準トレクターが、フェッファーマン空間上の共形標準トレクターであり、ファイバー方向に平行であるものに同型であることを確立すること。
• フェッファーマン空間上での複素化された共形トレクター微分幾何を用いて、CR構造の引き戻しを分析すること。
• トレクター接続を用いて、CR設定と共形設定との間で曲率と不変作用素を関連させること。
• 標準的なカルタン接続とウェブスター＝タナカ接続との関係を活用し、明示的な公式を導出すること。
• 過剰決定系の解がトレクター束内の平行切断に対応することを活用し、体系的な解析を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェッファーマン構成をトレクター微分幾何を用いて、CR幾何と共形幾何を結びつける観点から体系的に理解するにはどうすればよいか？
• RQ2 フェッファーマン空間上でのCRトレクター束と共形トレクター束との間の正確な関係は何か？
• RQ3 キリング形式やtwistorスピン角形式の共形不変な過剰決定系は、フェッファーマン空間上に非自明な解を有するか？
• RQ4 フェッファーマン空間上での無限小共形等長変換はどのように分解され、それぞれの成分がどの偏微分方程式を満たすか？
• RQ5 フェッファーマン空間上での複素化された共形トレクター微分幾何を用いて、CR不変対象を計算・解釈することができるか？

主な発見

• フェッファーマン空間上での無限小共形等長変換の空間は、特定のCR不変偏微分方程式の解に対応する部分空間に自然に分解される。
• すべてのフェッファーマン空間が、twistorスピン角形式やキリング形式の共形不変な過剰決定系に対して非自明な解を有する。
• 底面多様体 $M$ 上にCR・アインシュタイン構造が存在するとき、フェッファーマン空間 $ ilde{M}$ 上にはほぼアインシュタイン構造が誘導されるが、$ ilde{M}$ 上にはグローバルなアインシュタイン計量は存在しない。
• フェッファーマン空間は、その共形類においてグローバルなアインシュタイン計量を有さない。これは、潜在的な平行トレクター切断の実部における $S^1$-作用の非自明なホロノミーによって示される。
• フェッファーマン空間上の標準トレクター束は、ファイバー方向の平行性条件がCR構造を符号化するため、CRトレクター束に同型な束に引き戻される。
• フェッファーマン空間上での複素化された共形トレクター微分幾何は、CR不変対象を分析する強力な計算的道具を提供する。特に、CR標準トレクターがファイバー方向に平行な共形トレクターとして特定されることにより、その同定が可能になる。