[論文レビュー] Critical growth fractional elliptic problem with singular nonlinearities

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、分数階ラプラシアン $(-\Delta)^s$ を含む臨界成長および特異非線形性を有する分数階楕円型方程式に対する正の解の存在および多重性を調査する。変分法およびネハリ多様体の解析を用いて、重み関数 $a(x)$ および指数 $q \in (0,1]$ に対して適切な条件下で、十分に小さい $\lambda > 0$ に対して少なくとも2つの正の解が存在することを確立する。$q=1$ の場合でさえも、結果は新規である。主な貢献は、2つの臨界点が繊維写像上に存在する最大の $\lambda$ 範囲における鋭い多重性結果である。

ABSTRACT

In this article, we study the following fractional Laplacian equation with critical growth and singular nonlinearity $$\quad (-Δ)^s u = λa(x) u^{-q} + u^{2^*_s-1}, \quad u>0 \; ext{in}\; Ω,\quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mathbb{R}^n \setminusΩ,$$ where $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^n$ with smooth boundary $\partial Ω$, $n > 2s,\; s \in (0,1),\; λ>0,\; 0 < q \leq 1 $, $θ\leq a(x) \in L^\infty(Ω)$, for some $θ>0$ and $2^*_s=\frac{2n}{n-2s}$. We use variational methods to show the existence and multiplicity of positive solutions of the above problem with respect to the parameter $λ$.

研究の動機と目的

• 分数階ラプラシアンを含み、特異非線形性 $\lambda a(x)u^{-q}$ および臨界成長 $u^{2^*_s-1}$ を有する分数階楕円型問題に対する正の解の存在および多重性を研究すること。
• 局所的設定における変分技法を、特異的および臨界的項を有する非局所的分数階ラプラシアン設定へと拡張すること。
• ネハリ多様体および繊維写像の構造を分析することにより、鋭い多重性結果を確立すること。
• 解の正則性を証明し、$u \in L^\infty(\Omega)$ および $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$（ある $\alpha \in (0,s]$）を示すこと。
• 特異性を有する臨界成長問題に対する、分数階設定における完全な存在および多重性フレームワークを提供し、文献における空白を埋めること。

提案手法

• 分数階ソボレフ空間 $X_0$ において問題を定式化し、ノルム $\|u\|_{X_0} = \|u\|_{L^2(\Omega)} + [u]_X$ を備える。ここで $[u]_X$ はガリャルド半ノルムである。
• エネルギー汎関数 $J(u) = \frac{1}{2}\|u\|_{X_0}^2 - \frac{\lambda}{1-q}\int_\Omega a(x)u^{1-q}dx - \frac{1}{2^*_s}\int_\Omega u^{2^*_s}dx$ を $q \in (0,1)$ に対して定義し、臨界点理論を用いて弱解を研究する。
• エネルギー汎関数の臨界点を特定するために、ネハリ多様体 $\mathcal{N}_\lambda = \{u \in X_0 \setminus \{0\} : \langle J'(u), u \rangle = 0\}$ を分析する。
• 繊維写像解析を用いて、$\lambda$ が十分に小さい場合、繊維写像が2つの異なる臨界点を持つことを示し、それにより2つの異なる解が存在することを示す。
• 一様推定およびモーザー反復技法を用いて、解の $L^\infty$-正則性を証明し、$u \in L^\infty(\Omega)$ を得る。
• 文献[22]の定理および被覆論法を用いて、ある $\alpha \in (0,s]$ に対して $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的および臨界的非線形性を有する分数階楕円型問題が、$\lambda$ に関してどのような条件下で少なくとも2つの正の解を持つのか。
• RQ2 ネハリ多様体および繊維写像の構造が、臨界成長の場合の解の多重性をどのように決定するのか。
• RQ3 局所的設定で用いられる変分的アプローチを、特異項を有する非局所的分数階ラプラシアンに拡張できるか。
• RQ4 複数の解が存在するための最適な $\lambda$ 範囲は何か。また、この範囲は鋭いか。
• RQ5 この特異的・臨界的設定における弱解が有する正則性特性（例：$L^\infty$、ホルダー連続性）は何か。

主な発見

• 十分に小さい $\lambda > 0$ に対して、問題は少なくとも2つの異なる正の弱解を持つことが、ネハリ多様体および繊維写像解析によって確立された。
• 多重性結果は鋭い：繊維写像上に2つの臨界点が存在する $\lambda$ の範囲は最大である。
• 解は $L^\infty(\Omega)$ に属する。これは、モーザー反復および切り詰められた試験関数に対する一様推定を用いて証明された。
• 解は局所的にホルダー連続である：ある $\alpha \in (0,s]$ に対して $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ である。
• $q = 1$ の場合でさえも、結果は新規であり、既知の局所的結果を非局所的分数階設定へと拡張した。
• ネハリ多様体上での最小化子の存在は、解の多重性を証明するために不可欠である。