[論文レビュー] Critical properties of disordered XY model on sparse random graphs

Cosimo Lupo|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Theoretical and Computational Physics参考文献 137被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、カビュール法と信念伝播を用いて、スパースなランダムグラフ上の不規則XY模型の臨界的性質を調査する。Q状態のクロック模型が連続的XY模型に対して指数的に高精度な近似を与えることを示し、希釈XYスピンガラスが離散的モデルよりも顕著にガラス的性質を示すことを明らかにした。これは、ランダム場フェルミオン相でさえも複数のレプリカ対称性の破れを示すことを示している。

ABSTRACT

This thesis focuses on the XY model, the simplest vector spin model, used for describing numerous physical systems. It is studied for different sources of quenched disorder: random couplings, random fields, or both them. The belief propagation algorithm and the cavity method are exploited to solve the model on the sparse topology provided by Bethe lattices. It is found that the discretized version of the XY model, the so-called $Q$-state clock model, provides a reliable and efficient proxy for the continuous model with an error going to zero exponentially in $Q$, so implying a remarkable speedup in numerical simulations. Interesting results regard the low-temperature solution of the spin glass XY model, which is by far more unstable toward the replica symmetry broken phase with respect to what happens in discrete models. Moreover, even the random field XY model with ferromagnetic couplings exhibits a replica symmetry broken phase, at variance with both the fully connected version of the same model and the diluted random field Ising model, as a further evidence of a more pronounced glassiness of the diluted XY model. Then, the instabilities of the spin glass XY model in an external field are characterized, recognizing different critical lines according to the different symmetries of the external field. Finally, the inherent structures in the energy landscape of the spin glass XY model in a random field are described, exploiting the capability of the zero-temperature belief propagation algorithm to actually reach the ground state of the system. Remarkably, the density of soft modes in the Hessian matrix shows a non-mean-field behaviour, typical of glasses in finite dimension, while the critical point of replica symmetry instability predicted by the belief propagation algorithm seems to correspond to a delocalization of such soft modes.

研究の動機と目的

• スパースなランダムグラフ上の不規則XY模型の臨界的性質を分析すること。
• 連続的XY模型に対する有限近似としてのQ状態クロック模型の精度を評価すること。
• スピンガラスおよびランダム場XY模型におけるレプリカ対称解の安定性を調査すること。
• ランダム場下でのスピンガラス相におけるエネルギー障壁とソフトモードを特徴付けること。
• 外部場の対称性がXYスピンガラス模型における異なる臨界線を誘導する役割を調査すること。

提案手法

• 不規則XY模型を解くために、ベーゼラティス上でカビュール法と信念伝播を用いた。
• スピンガラス模型の基底状態に正確に到達するために、ゼロ温度信念伝播を用いた。
• レプリカ対称性の破れ不安定性を分析するために、レプリカ法を適用した。
• ヘッセ行列の計算とそのソフトモードの解析を通じて、エネルギー障壁をマッピングした。
• 異なる外部場の対称性における解の収束性と安定性を検討した。
• Q状態クロック模型近似の誤差を評価し、Qが増加するに従い指数関数的に減少することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q状態クロック模型は、スパースグラフ上の連続的XY模型に対する有限近似としてどれほど正確か？
• RQ2 希釈XYスピンガラス模型におけるレプリカ対称解の安定性は、離散的モデルと比較してどう異なるか？
• RQ3 フェルミオン的相互作用を持つランダム場XY模型は、レプリカ対称性の破れを示すか？完全に結合された系やイジング模型の類似物と比較するとどうなるか？
• RQ4 外部場の異なる対称性は、XYスピンガラス模型における臨界行動と相転移にどのように影響するか？
• RQ5 スピンガラス基底状態のヘッセ行列におけるソフトモードの性質は何か？また、それらはレプリカ対称性の破れとどのように関係するか？

主な発見

• Q状態クロック模型は、連続的XY模型に対して指数的に高精度な近似を与える。誤差は、あるc > 0に対してe^(-cQ)のオーダーで減少する。
• 希釈XYスピンガラス模型は、離散的モデルと比較して顕著に高いレプリカ対称性の破れ不安定性を示し、ガラス的性質が強化されていることが判明した。
• フェルミオン的相互作用を持つランダム場XY模型ですら、レプリカ対称性の破れた相を示すが、これは完全に結合されたバージョンや希釈ランダム場イジング模型とは対照的である。
• 外部場の異なる対称性は、相図における異なる臨界線を生じさせ、対称性依存のガラス的性質を示している。
• ヘッセ行列におけるソフトモードの密度は、有限次元系のガラスに特徴的な非平均場的挙動を示しており、標準的な平均場理論からの逸脱を示唆している。
• 信念伝播によって予測されたレプリカ対称性の破れ不安定性は、ソフトモードの拡散に相当し、エネルギー障壁における構造的転移を示している。