[論文レビュー] Mean field theory of spin glasses

Francesco Zamponi|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2010

Theoretical and Computational Physics参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本論文は、無作為な磁性系における準安定状態の巨視的数の出現に注目し、平均場スピンガラス理論の包括的な導入を提供する。レプリカ法およびキャビティ法を用いて、SKモデルや球面pスピンモデルなどの完全結合モデルの統計力学を導出し、パリシ解およびレプリカ対称性の破れがスピンガラス秩序および相転移を理解する上で中心的役割を果たすことを確立する。

ABSTRACT

These lecture notes focus on the mean field theory of spin glasses, with particular emphasis on the presence of a very large number of metastable states in these systems. This phenomenon, and some of its physical consequences, will be discussed in details for fully-connected models and for models defined on random lattices. This will be done using the replica and cavity methods. These notes have been prepared for a course of the PhD program in Statistical Mechanics at SISSA, Trieste and at the University of Rome "Sapienza". Part of the material is reprinted from other lecture notes, and when this is done a reference is obviously provided to the original.

研究の動機と目的

• 平均場スピンガラスの理論的枠組みを説明し、準安定状態の役割とその物理的結果に焦点を当てる。
• クエンチド・ディスオーダーおよびフラストレーションを有する系を研究するために、レプリカ法およびキャビティ法を導入・適用する。
• 平均場の結果を、老化、動的不均一性、複雑なレオロジーを含むガラス的系の広範な現象と結びつける。
• 統計力学の博士課程学生を対象に、基礎的モデルと現代的発展をカバーする教育的基盤を提供する。
• 平均場理論と有限次元系を結びつける。ガラス転移および量子効果への影響を議論する。

提案手法

• レプリカトリックを用いてイジングスピンモデルの自由エネルギー汎関数を導出し、系統的近似のためのジョルジュ＝イェディア展開を含む。
• トゥースルズ＝アンドリューズ＝パールマー（TAP）方程式をシャレリンガトン＝キーカープ（SK）モデルおよび球面pスピンモデルに適用し、局所磁場と安定性を記述する。
• レプリカ対称および1段階レプリカ対称性破れ（1RSB）のアンザッツを用いて自由エネルギーを計算し、相転移を分析する。
• ランダムグラフおよび要因グラフにおけるキャビティ法を用いて希釈モデルを研究し、キャビティ確率の再帰的方程式を導出する。
• キャビティ方程式のゼロ温度極限を分析し、最適化問題における基盤構造およびグルーピングを研究する。
• レプリカ法による複雑性（準安定状態の数）の概念を導入し、スピンガラス相の熱力学的安定性と関連付ける。

Figure 1: The functions $f(m)$ and $\Gamma(m)/N$ for the fully connected Ising ferromagnet at ${\cal B}=0$ and $T<1$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均場スピンガラスモデルにおいて準安定状態はどのように出現し、ガラス的動力学においてどのような役割を果たすか？
• RQ2 球面pスピンモデルにおける相転移の性質は何か？また、有限次元系におけるガラス転移とどのように関係するか？
• RQ3 完全レプリカ対称性破れを用いて導かれたパリシ解は、SKモデルにおけるスピンガラス秩序パラメータをどのように記述するか？
• RQ4 スピンガラスの平均場的状況は、有限次元系および実際の物質へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 外部駆動および量子揺らぎは、スピンガラス系の熱力学および動力学にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 球面pスピンモデルは臨界温度Td未満で指数的多数の準安定状態が出現する一次相転移を示し、ガラス的相を示唆する。
• 完全レプリカ対称性破れを用いて導かれたSKモデルのパリシ解は、連続的転移を記述し、非自明な重なり分布および状態の超ミートリック的組織を示す。
• 静的および動的スピンガラス感受率は、スピンガラス転移温度TKで発散し、遅い臨界スローニングおよび長時間スケールの緩和を示す。
• 球面pスピンモデルにおける準安定状態の複雑性は、レプリカ法を用いて計算され、スピンガラス相では非ゼロであることが示され、多数の平衡状態の存在を確認する。
• レプリカ対称キャビティ法は、XORSAT問題におけるSAT/UNSAT転移をうまく記述でき、クラスタリングおよびバックボーン形成がキャビティ確率分布から生じることが明らかになる。
• 特に1RSBアプローチを用いたスピンガラスの平均場的状況は、過冷却液体および粉体材料における動的不均一性および複雑なレオロジーを理解するためのフレームワークを提供する。

Figure 2: Sketch of the evolution in temperature 8 8 8 Note that in the spherical $p$ -spin model, because of the continuous variables, the entropy is negative , hence $df/dT=-s>0$ and the free energy increases with temperature; in most models (and in all discrete models) instead the entropy is posi