[論文レビュー] Critical scaling in quantum gravity from the renormalisation group

Kevin Falls|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、計量のゆらぎをゲージ不変なパrameterisationで扱った正確な重縮重グループ（ERG）を用いて、$d=4$次元時空における量子重力の臨界指数 $\nu$ を計算する。リティムの最適化を用いることで $\nu \approx 1/3$ を得ており、格子シミュレーションと整合し、漸近的自由性固定点における2次相転移の存在を支持する。

ABSTRACT

The scaling behaviour of euclidean quantum gravity at an asymptotically safe critical point is studied by means of the exact renormalisation group. Gauge independence is ensured via a specific parameterisation of metric fluctuations introduced in a recent paper. Within a non-perturbative approximation the beta function for Newton's constant takes a simple form to all orders in $\hbar$. A UV fixed point is found to exist for $d\leq 7$ spacetime dimensions at which the critical scaling can be assessed. The critical exponent for the Newton's constant $ν$ is found to be regulator independent close to two dimensions. Applying Litim's optimisation criteria we find $ν\approx 1/3$ in four spacetime dimensions. This value is in agreement with lattice studies supporting the existence of a second order phase transition between strongly and weakly coupled phases.

研究の動機と目的

• ユークリッド量子重力が漸近的自由性固定点近くで示す臨界スケーリング挙動を正確な重縮重グループ（ERG）を用いて調査すること。
• 一回微分の段階で物理的でない自由度を除去する最近提案された計量ゆらぎのパrameterisationを用いることで、臨界指数 $\nu$ の計算におけるゲージ不変性を保証すること。
• $d=4$ 次元におけるニュートン定数の臨界指数 $\nu$ を計算し、格子結果と比較することで、漸近的自由性の整合性を検証すること。
• UV固定点近くでの自由エネルギーと相関長のスケーリングを調べ、ERGの結果を普遍的臨界現象に結びつけること。

提案手法

• 本研究では、バックグラウンド場法と、計量ゆらぎ $\gamma_{\mu\nu}$ の特定のパrameterisationを用いた正確な重縮重グループ（ERG）を採用しており、このパrameterisationにより、共形ゆらぎ $\sigma$ に対して体積要素が線形になるようにすることで、ゲージ不変性が保証される。
• 次元無次元化されたニュートン定数 $G$ のベータ関数は、$\beta_G = (d-2)G - \frac{2}{3}(18 - N_g)G^2$ として導出され、$N_g = d(d-3)/2$ であり、$\hbar$ のすべての次数にわたって正確で、$G$ の再スケーリングに対して普遍的である。
• 臨界指数 $\nu$ は、固定点 $G_*$ における $1/\nu = -\partial\beta_G / \partial G$ として計算され、レギュレータ依存の結果はリティムの最適化基準を用いて最小化される。
• 最適化レギュレータ $C_k(z)$ のクラスが用いられ、$s \to \infty$ の極限で $C_{\rm opt}(z) = 1/z$ となる。これにより、$s$ にわたる変動が1%未満で、$\nu \approx 1/3$ が得られる。
• 自由エネルギーのスケーリングはRGフローから導出され、$F \sim |G_* - G_b|^{d\nu}$ となる。これは普遍的スケーリング則（3）を回復し、$\xi \propto G_N^{-1/(d-2)}$ をプランク長さに結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ不変性がERGフレームワークで適切に確保された場合、量子重力の臨界指数 $\nu$ はレギュレータ依存性を示さないか？
• RQ2 ゲージ不変な計量ゆらぎパrameterisationを用いた正確な重縮重グループは、4次元時空において格子結果 $\nu \approx 0.335$ を再現できるか？
• RQ3 リティムの最適化スキームを用いた場合、$d=4$ におけるニュートン定数の臨界指数 $\nu$ の値は何か？
• RQ4 ERGフレームワークにおける自由エネルギーのスケーリングは、臨界現象から導かれた普遍的スケーリング則とどのように比較できるか？

主な発見

• リティムの最適化レギュレータを用いた場合、4次元時空におけるニュートン定数の臨界指数 $\nu$ は $\nu \approx 1/3$ であり、最適化レギュレータのクラスにわたる変動は1%未満である。
• $\nu \approx 1/3$ は最適化基準のもとでレギュレータ依存性がなく、安定性と格子シミュレーションとの整合性を確認する。
• ニュートン定数のベータ関数は、$\hbar$ のすべての次数にわたって正確で、$\beta_G = (d-2)G - \frac{2}{3}(18 - N_g)G^2$ という単純な構造を有し、1回微分の段階でゲージ不変性が保証される。
• 自由エネルギーのスケーリングは $F \sim |G_* - G_b|^{d\nu}$ として回復され、臨界現象から予想される普遍的スケーリング則を確認し、相関長 $\xi$ をプランク長さに結びつける。
• $\nu \approx 1/3$ の結果は、量子重力における弱い結合相と強い結合相の間の2次相転移の存在を支持し、漸近的自由性と整合的である。