[論文レビュー] Critical Transitions in Thin Layer Turbulence

Santiago Benavides, Alexandros Alexakis|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 6

ひとこと要約

本研究は、垂直方向のガラーキン截断から導かれた低次元化された2次元-3次元連成モデルを用いて、薄層乱流におけるエネルギー級列遷移を調査している。2つの臨界層厚さを特定した。1つは前向級列から双方向級列への遷移を示し、もう1つは双方向級列から逆級列への遷移を示す。高レイノルズ数シミュレーションにより、それぞれの臨界点で特徴的な臨界行動が明らかにされた。

ABSTRACT

We investigate a model of thin layer turbulence that follows the evolution of the two-dimensional motions ${\bf u}_{_{2D}} (x,y)$ along the horizontal directions $(x,y)$ coupled to a single Fourier mode along the vertical direction ($z$) of the form ${\bf u}_q (x, y, z)=[v_x(x,y) \sin(qz), v_y(x,y)\sin(qz), v_z(x,y)\cos(qz)\, ]$, reducing thus the system to two coupled, two-dimensional equations. The reduced dimensionality of the model allows a thorough investigation of the transition from a forward to an inverse cascade of energy as the thickness of the layer $H=π/q$ is varied. Starting from a thick layer and reducing its thickness it is shown that two critical heights are met (i) one for which the forward unidirectional cascade (similar to three-dimensional turbulence) transitions to a bidirectional cascade transferring energy to both small and large scales and (ii) one for which the bidirectional cascade transitions to a unidirectional inverse cascade when the layer becomes very thin (similar to two-dimensional turbulence). The two critical heights are shown to have different properties close to criticality that we are able to analyze with numerical simulations for a wide range of Reynolds numbers and aspect ratios.

研究の動機と目的

• 3次元と2次元乱流の中間的状態である、薄層乱流における前向級列から逆級列への遷移を理解すること。
• 層厚さ $ H = \pi/q $ を変化させた際のエネルギー級列行動の変化を調査すること、特に臨界閾値付近での挙動に注目すること。
• 級列領域間の遷移が連続的（2次相転移的）か、不連続的（1次相転移的）な臨界現象によって起こるかを特定すること。
• 臨界定域における系の統計的および力学的性質（例：間歇性、空間的構造）を分析すること。
• これらの遷移の普遍性クラスを探索すること。特に、指向的渗出（directed percolation）や他の既知の臨界現象に類似しているかを検討すること。

提案手法

• 垂直方向の依存性を1つのフーリエモード $ \sin(qz) $ と $ \cos(qz) $ に截断することで、3次元ナビエ-ストークス方程式を2つの結合された2次元方程式系に低次元化し、2次元-3次元ハイブリッドモデルを構築した。
• 制御パrameter $ Q = \ell_f / H $ を定義した。ここで $ \ell_f $ は駆動スケール、$ H $ は層厚さであり、2次元および3次元力学の相対的重要性を定量化する。
• 広い範囲のレイノルズ数とアスペクト比に対して直接数値シミュレーションを実施し、スケール間のエネルギーフラックスを調査した。
• エネルギーフラックス $ \mathcal{E}_q^n $ と $ \mathcal{E}_{2D}^n $ を分析して、前向、逆、双方向級列を区別した。
• 時間平均エネルギーフラックスと空間的間歇性解析を用いて、オン・オフ行動および構造的共存（2次元渦と3次元渦管）を検出した。
• 指向的渗出や確率場理論にインspiredして、空間的・時間的乗法的ノイズを用いた臨界定常ダイナミクスのモデル化可能性を検討した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 層厚さが減少するに従い、エネルギー級列が前向から双方向級列へどのように遷移するか。
• RQ2 最初の臨界層厚さ $ H_{3D} $ における臨界遷移の性質は何か。連続的か不連続的か。
• RQ3 2番目の臨界層厚さ $ H_{2D} $ において、系が双方向級列から逆級列へどのように遷移するか。この遷移を支配するスケーリング則は何か。
• RQ4 2つの臨界点付近での統計的性質（例：間歇性、空間的構造）は何か。これらは普遍的臨界行動を示唆するか。
• RQ5 臨界定域におけるダイナミクスは、空間的・時間的乗法的ノイズを有する拡張系でモデル化可能か。これは普遍性に何を示唆するか。

主な発見

• 前向級列から双方向級列への遷移を示す臨界層厚さ $ H_{3D} $ と、双方向級列から逆級列への遷移を示す臨界層厚さ $ H_{2D} $ が2つ特定された。
• $ H_{3D} $ 付近では、逆級列の振幅が $ Q - Q_{3D} $ に比例して線形に増加し、連続的遷移を示す。$ H \lesssim H_{3D} $ の領域では弱い逆フラックスが観測された。
• $ H_{3D} $ 付近では、大規模および小規模スケールで両方ともコルゴゴフのスケーリング $ k^{-5/3} $ に近いエネルギースペクトルを示し、2次元渦と3次元渦管が空間的に別々の領域に共存していた。
• $ H_{2D} $ 付近では、3次元モードに強い時間的・空間的オン・オフ間歇性が観測され、$ H \to H_{2D} $ に近づくにつれて3次元構造が希釈化・局在化していった。
• 2番目の臨界層厚さは $ H_{2D} \propto \ell_f Re^{-1/2} $ のスケーリングに従い、$ H < H_{2D} $ の領域ではすべての3次元摂動が指数関数的に減衰するため、2次元逆級列が安定であることが示された。
• $ H_{2D} $ 付近の臨界定常行動は、乗法的ノイズを用いたモデル化が可能であり、指向的渗出の普遍性クラスに類似している可能性があるが、さらなる解析が必要である。