[論文レビュー] Critical values of Rankin-Selberg L-functions for GL(n) x GL(n-1) and the symmetric cube L-functions for GL(2)

A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の数体 F 上での GL(n) × GL(n−1) のランキン・セルバーグ L 関数の臨界値について、周期関係および非消滅仮説に関する最近の進展を用いて、 unconditional な代数的性の結果を確立する。これらの結果を応用して、GL(2) の自動形式の対称立方 L 関数について、従来の条件付きまたは特殊ケースに限った結果を拡張する、新たな unconditional な代数的定理を証明する。

ABSTRACT

In a previous article we had proved an algebraicity result for the central critical value for L-functions for GL(n) x GL(n-1) over Q assuming the validity of a nonvanishing hypothesis involving archimedean integrals. The purpose of this article is to generalize that result for all critical values for L-functions for GL(n) x GL(n-1) over any number field F. Binyong Sun has recently proved that nonvanishing hypothesis and so the results of this article are unconditional. Using such results for the case of GL(3) x GL(2), new unconditional algebraicity results for the special values of symmetric cube L-functions for GL(2) over F have been proved.

研究の動機と目的

• GL(n) × GL(n−1) のランキン・セルバーグ L 関数の臨界値について、従来の条件付き代数的性の結果を、任意の数体 F 上のすべての臨界値へと一般化すること。
• GL(3) × GL(2) の場合を活用することで、GL(2) の補間的自動形式表現の対称立方 L 関数について、unconditional な代数的性の結果を確立すること。
• コhomological 設定における重み μ と λ の間の整合性条件を解消し、代数的関係を持つ臨界 L 値の存在を保証すること。
• Galois作用に関して整合するように定義された自動形式的周期 p^ε(Π) および p^ε,η∞(μ + m, λ) を定義し、それらを活用すること。
• 強純粋な重みの概念を導入し、アーキメデス的成分を注意深く分析することで、複素埋め込みを含む任意の数体へと枠組みを拡張すること。

提案手法

• Raghuram–Shahidi [37] の周期関係を用いて、GL(n) 上のコhomological 自動形式的表現 Π に対して、Galois 同変な周期 p^ε(Π) を定義する。
• Sun [44] による非消滅仮説の最近の証明を応用することで、主な結果を unconditional にすること。
• 整数 j が存在して Hom_{G_{n-1}}(M_{μ^v}, M_{λ+j}) ≠ 0 となることによって、重み μ と λ の間の整合性条件を実装する。
• Π および Σ のアーキメデス的成分から導かれる符号データ ε と η に依存するアーキメデス的周期 p^ε,η∞(μ + m, λ) を構成する。
• 自動形式的 L 関数の理論およびその有限部 L_f(s, Π × Σ) を用い、Galois作用を通じて周期およびガウス和と関連付ける。
• 対称冪移動およびコhomological 表現の構造を用いて、対称立方 L 関数のケースを GL(3) × GL(2) の設定へと還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み μ と λ がどのような条件下で、臨界値 L(1/2 + m, Π × Σ) が周期を除いて代数的になるか？
• RQ2 任意の数体上での GL(2) の対称立方 L 関数の代数的性は、unconditional に確立可能か？
• RQ3 GL(n) × GL(n−1) のランキン・セルバーグ L 関数の臨界値の、自動形式的周期を用いた Gaois 同変性の正確な性質は何か？
• RQ4 アーキメデス的周期 p^ε,η∞(μ + m, λ) は Galois 共役に関してどのように振る舞い、代数的性の記述において果たす役割は何か？
• RQ5 π のホッジ＝ターン重量を用いて、L(s, Sym³(π) ⊗ χ) の臨界範囲は何か？ また、GL(3) × GL(2) の場合とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、任意の数体 F 上の正則代数的補間的自動形式的表現 Π（GL(n) 上）および Σ（GL(n−1) 上）に対して、臨界値 L(1/2 + m, Π × Σ) が、有限周期およびアーキメデス的周期の積を除いて代数的であることを証明する。
• 臨界値は、Galois 同変性の性質を満たす：任意の σ ∈ Aut(ℂ) に対して、正規化された L 値の Galois 共役は、共役表現の正規化された L 値に一致する。
• GL(2) の場合、重み条件 −2a − b ≤ m ≤ −a − 2b を満たす限り、L(s, Sym³(π) ⊗ χ) の臨界値は周期を除いて代数的である。
• 臨界集合は、μ = (a, b) が強純粋な重みであると仮定した下で、半整数の区間 [−2a − b, −a − 2b] として明示的に特徴付けられる。
• 本手法により、対称冪移動および重みの整合性を用いて、対称立方ケースを GL(3) × GL(2) のランキン・セルバーグ設定へと成功裏に還元した。
• 必要なホモロジー条件を満たす整数 j の存在により、臨界 L 値が代数的であることが保証され、F が完全に虚数的でない場合、または適切な重み制約がある場合にこの条件は満たされる。