[論文レビュー] Cross-boundary Behavioural Reprogrammability Reveals Evidence of Pervasive Universality

Jürgen Riedel, Héctor Zenil|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Cellular Automata and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、細胞自動機（CA）が境界を越えた再プログラミング可能性を通じて、広範な内在的universal性を示すことを実証している。単純なCA規則は粗粒度のブロック変換を用いて、他のクラスの複雑な振るまいをエミュレート可能である。著者らは、コンパイラ（初期条件）のサイズが増加するにつれ、エミュレート可能なプログラムの密度が漸近的に1に近づくことを示しており、これはほぼすべてのプログラムが、線形の計算オーバーヘッドを伴い、圧縮された探索戦略を用いずに、他のいかなるプログラムにも再プログラミング可能であることを示している。

ABSTRACT

We exhaustively explore the reprogrammability capabilities and the intrinsic universality of the Cartesian product $P imes C$ of the space $P$ of all possible computer programs of increasing size and the space $C$ of all possible compilers of increasing length such that $p \in P$ emulates $p^\prime \in P$ with $T|p^\prime|=|p|$ under a coarse-graining transformation $T$. Our approach yields a novel perspective on the complexity, controllability, causality and (re)programmability discrete dynamical systems. We find evidence that the density of (qualitatively different) computer programs that can be reprogrammed grows asymptotically as a function of program and compiler size. To illustrate these findings we show a series of behavioural boundary crossing results, including emulations (for all initial conditions) of Wolfram class 2 Elementary Cellular Automata (ECA) by Class 1 ECA, emulations of Classes 1, 2 and 3 ECA by Class 2 and 3 ECA, and of Classes 1, 2 and 3 by Class 3 ECA, along with results of even greater emulability for general CA (neighbourhood $r=3/2$), including Class 1 CA emulating Classes 2 and 3, and Classes 3 and 4 emulating all other classes (1, 2, 3 and 4). The emulations occur with only a linear overhead and can be considered computationally efficient. We also found that there is no hacking strategy to compress the search space based on compiler profiling in terms of e.g. similarity or complexity, suggesting that no strategy other than exhaustive search is viable. We also introduce emulation networks, derive a topologically-based measure of complexity based upon out- and in-degree connectivity, and establish bridges to fundamental ideas of complexity, universality, causality and dynamical systems.

研究の動機と目的

• 単純なコンピュータプログラム（細胞自動機）が、初期条件の選択（コンパイラ）によって、質的に異なるより複雑なプログラムをどの程度エミュレートできるかを調査すること。
• Wolframのクラスに跨る細胞自動機のuniversal性と再プログラミング可能性を評価すること、特にチューリングuniversal性を超えた内在的universal性に焦点を当てる。
• プログラムおよびコンパイラのサイズが増加するに従い、再プログラミング可能なプログラムの密度が漸近的に増大するかどうかを特定することにより、行動変換の広範な能力を示すこと。
• プロファイリングによる探索空間の圧縮戦略（例：類似性、複雑さなど）が存在しないことの意義を明らかにすることにより、エミュレーションを発見するには網羅的探索が不可避であると示すこと。
• エミュレーションネットワークの接続性に基づくトポロジー的複雑性測度を確立し、再プログラミング性を因果性および力学系理論と結びつけること。

提案手法

• サイズが増加する細胞自動機規則の集合 $P$ と、長さが増加するコンパイラ（初期条件）の集合 $C$ の直積空間 $P \times C$ を網羅的に探索する。
• 粗粒度変換 $T$ を用い、$p \in P$ が $T|p'| = |p|$ を満たすように $p' \in P$ をエミュレートする。これにより、Wolframの異なるクラス間での振るまいのエミュレーションが可能になる。
• サイズ $n$ のブロック変換を定義し、$k$-色CAを $k^n$-色CAに変換することで、2色CAが他の2色規則を、$b_{x,y}^8$ と $b_{x',y'}^8$ 間の基本的マッピングを介してエミュレート可能にする。
• 出次数および入次数の接続性に基づくエミュレーションネットワークを構築し、トポロジーに根ざした複雑性測度を導出する。
• ルール番号変換および2進数・4進数表現を用いた定量的測定を適用し、エミュレートされたCAとエミュレートするCAとの間の等価性を検証する。
• ルール空間の自然な列挙を適用し、対称性の削減を用いて過剰な重複を最小限に抑えつつ、一般性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期条件の選択を通じて、他の質的に異なるプログラムをエミュレート可能なコンピュータプログラムの漸近的密度はどの程度か？
• RQ2 単純な細胞自動機（例：Wolframクラス1）は、線形のオーバーヘッドとモデル固有のバイアスなしに、より複雑なクラス（例：クラス4）の振るまいをエミュレート可能か？
• RQ3 類似性、複雑さ、またはプロファイリングに基づくコンパイラの探索空間の圧縮戦略は有効か、それとも網羅的探索が避けられないか？
• RQ4 エミュレーションネットワークのトポロジー的構造は、離散力学系における内在的universal性および因果的複雑性とどのように関係するか？
• RQ5 内在的universal性は、近隣の対称性やアルファベットのサイズに依存しない形で、ルール空間全体に広く存在するか？

主な発見

• コンパイラ（初期条件）のサイズが増加するに従い、エミュレート可能なコンピュータプログラムの密度は漸近的に1に近づき、広範な内在的universal性を示している。
• クラス1のECAは適切な粗粒度変換およびブロック変換を用いることで、クラス2、3、4のすべてをエミュレート可能であり、クラス4のECAに対しても線形オーバーヘッドで完全なエミュレーションが可能である。
• クラス3のECAは、すべての他のクラス（1、2、3、4）をエミュレート可能であり、$r=3/2$ の近隣範囲を持つ一般CAは、クラス3のECAがクラス4を含むすべてのクラスをエミュレート可能である。
• コンパイラのプロファイリング、類似性、または複雑さに基づく有効な探索空間の圧縮戦略は存在せず、エミュレーションを発見するには網羅的探索が不可避であることが示唆される。
• エミュレーションネットワークの出次数および入次数の接続性は、行動universal性と相関するトポロジーに根ざした複雑性測度を提供する。
• サイズ $n$ のブロック変換により、2色CAが他の2色規則を、異なる8色ベース間のマッピングを介してエミュレート可能であり、$R[\oplus_\ell]_{x,y} = \Re[\oplus_2]_{x,y} \bullet b_{x,y}^\ell$ を用いてルール番号の等価性が検証されている。