[論文レビュー] Cross-cap defects and fault-tolerant logical gates in the surface code and the honeycomb Floquet code

Ryohei Kobayashi, Guanyu Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2023

Quantum and electron transport phenomena参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ℚ_2$トーリックコードおよびハニカムフロケットコードにおいて、実射影平面（$ℚ²$）やクラインボトルといった非可定向多様体に埋め込むことで、トポロジカルな量子符号における耐障害的論理ゲートを導入する。クロスキャップが出現する対称性を誘発し、ハダマードゲートやクリフォードゲートといった論理ゲートを定数深さかつ局所ユニタリな形で実現可能にし、誤り伝播を低減するとともに、従来の折りたたみ表面コードの距離半減問題を回避する。

ABSTRACT

We consider the $\mathbb{Z}_2$ toric code, surface code and Floquet code defined on a non-orientable surface, which can be considered as families of codes extending Shor's 9-qubit code. We investigate the fault-tolerant logical gates of the $\mathbb{Z}_2$ toric code in this setup, which corresponds to $e\leftrightarrow m$ exchanging symmetry of the underlying $\mathbb{Z}_2$ gauge theory. We find that non-orientable geometry provides a new way the emergent symmetry acts on the code space, and discover the new realization of the fault-tolerant Hadamard gate of 2d $\mathbb{Z}_2$ toric code on a surface with a single cross-cap, dubbed a non-orientable toric code. This Hadamard gate can be realized by a constant-depth local unitary circuit modulo non-locality caused by a cross-cap. Via folding, the non-orientable surface code can be turned into a bilayer local quantum code, where the folded cross-cap is equivalent to a bi-layer twist terminated on a gapped boundary and the logical Hadamard only contains local gates with intra-layer couplings. We further obtain the complete logical Clifford gate set for a stack of non-orientable surface codes. We then construct the honeycomb Floquet code in the presence of a single cross-cap, and find that the period of the sequential Pauli measurements acts as a $HZ$ logical gate on the single logical qubit, where the cross-cap enriches the dynamics compared with the orientable case. We find that the dynamics of the honeycomb Floquet code is precisely described by a condensation operator of the $\mathbb{Z}_2$ gauge theory, and illustrate the exotic dynamics of our code in terms of a condensation operator supported at a non-orientable surface.

研究の動機と目的

• 非可定向多様体上でのトポロジカルな安定化子およびフロケット符号に対する耐障害的論理ゲートの開発。
• クロスキャップを用いて定数深さの論理ゲートを実現することで、折りたたみ表面コードにおける距離半減問題を克服すること。
• 非局所的接続性を持つ$ℚ²$コード上での安定化子ポンピング回路を用いて論理ハダマードゲートを実現すること。
• $ℚ²$およびクラインボトルコード上での論理クリフォードゲート集合の完全な構成への拡張。
• ハニカムフロケットコードにおける連続的パウリ測定の周期が、非可定向幾何におけるフェルミオン的任意粒子の凝縮により$HZ$論理ゲートとして作用することを示すこと。

提案手法

• 反対側の辺を接続する1つのクロスキャップを持つ、表面コードの非可定向版として$ℚ²$コードを構築する。
• クロスキャップに起因する非局所性を除き、定数深さの安定化子ポンピング回路を用いて論理ハダマードゲートを実装する。
• $\mathbb{RP}^2$コードを二層構造に折りたたみ、クロスキャップに位置する層交換型欠陥を用いてゲート操作を局所化する。
• クロスキャップを有するハニカムフロケットコードのダイナミクスを、$ℚ_2$ゲージ理論の凝縮作用素に写像し、これにより$HZ$ゲートが発現することを示す。
• アーフ＝ブラウン＝カーヴェイア不変量を用いて、ヒルベルト空間上での凝縮作用素の作用を計算し、$ℚ²$では$ℓ\mathrm{diag}(e^{2\pi i/8}, e^{-2\pi i/8})$行列が得られ、これは$ℚ_8$分類に対応する。
• フェルミオン的双対およびトポロジカル不変量の結果として、非可定向多様体上でのハニカムフロケットコードの強化されたダイナミクスを導出する。

Figure 1: Logical Hadamard gate of the surface code.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可定向多様体（例：$ℚ²$）上でのトポロジカル符号における論理ゲートをどのように耐障害的に実現できるか？
• RQ2 距離の低下を伴わずに、非可定向多様体コード上で定数深さ回路を用いてハダマードゲートを実装できるか？
• RQ3 クロスキャップが$ℚ_2$トーリックコードの出現対称性およびダイナミクスをどのように変更するか？
• RQ4 ハニカムフロケットコードにおける測定周期が、非可定向多様体上での論理ゲートとしてどのように作用するか？
• RQ5 クロスキャップを有するハニカムフロケットコードにおける強化された対称性および周期の場理論的解釈は何か？

主な発見

• $ℚ²$コード上での論理ハダマードゲートは、クロスキャップに起因する非局所性を除き定数深さの安定化子ポンピング回路により実現され、折りたたみ表面コードで見られる2倍の距離低下を回避する。
• 折りたたみ$ℚ²$コードでは、クロスキャップ以外の領域では層内結合のみを用いて論理ハダマードゲートを実現するが、これは折りたたみ表面コードにおける層間結合とは対照的である。
• 1つのクロスキャップを用いて、$ℚ²$コードおよびクラインボトルコードの両方で、CNOTゲートや$S$ゲートを含む完全な論理クリフォードゲート集合が構成可能である。
• 1つのクロスキャップを有するハニカムフロケットコードは、周期2ではなく周期4のダイナミクスを示し、コード空間上での作用が$ℓ\mathrm{diag}(e^{2\pi i/8}, e^{-2\pi i/8})$である$HZ$論理ゲートに対応する。
• 非可定向多様体上でのハニカムフロケットコードのダイナミクスは、$ℚ_2$ゲージ理論の凝縮作用素として記述され、ピン$^{-}$構造上のキタエフチェーンの分配関数を評価し、八乗根の位相を生成する。
• 凝縮作用素は、非可定向多様体上でのフェルミオン的可逆相の$ℚ_8$分類の生成子として作用し、拡張された周期および強化された対称性を説明する。

Figure 2: Codimension-1 defect of the emergent symmetry is obtained by applying the symmetry on the restricted region $R$ in the 2d space. The logical gate is understood as sweeping a defect over the whole space.