[論文レビュー] Higher-group symmetry in finite gauge theory and stabilizer codes

Maissam Barkeshli, Yu-An Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 141被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、(d+1)次元時空における有限ゲージ理論が、磁気的欠陥の1形式対称性とゲージ化された対称性保護トポロジカル（SPT）相の相互作用によって生じる高階グローバル対称性を示している。Dijkgraaf-Wittenトポロジカルゲージ理論において、d群対称性とその't Hooft異常を導出し、Witten効果と電荷・磁束の付着を一般化している。主な結果として、この対称性を用いて(3+1)D安定化子コードにおいて、制御Zゲートのような新たな耐障害的論理ゲートを発見した。また、フェルミオン的SPT相におけるH⁵(BG, U(1))障害の簡略化された式を得た。

ABSTRACT

A large class of gapped phases of matter can be described by topological finite group gauge theories. In this paper we show how such gauge theories possess a higher-group global symmetry, which we study in detail. We derive the $d$-group global symmetry and its 't Hooft anomaly for topological finite group gauge theories in $(d+1)$ space-time dimensions, including non-Abelian gauge groups and Dijkgraaf-Witten twists. We focus on the 1-form symmetry generated by invertible (Abelian) magnetic defects and the higher-form symmetries generated by invertible topological defects decorated with lower dimensional gauged symmetry-protected topological (SPT) phases. We show that due to a generalization of the Witten effect and charge-flux attachment, the 1-form symmetry generated by the magnetic defects mixes with other symmetries into a higher group. We describe such higher-group symmetry in various lattice model examples. We discuss several applications, including the classification of fermionic SPT phases in (3+1)D for general fermionic symmetry groups, where we also derive a simpler formula for the $[O_5] \in H^5(BG, U(1))$ obstruction that has appeared in prior work. We also show how the $d$-group symmetry is related to fault-tolerant non-Pauli logical gates and a refined Clifford hierarchy in stabilizer codes. We discover new logical gates in stabilizer codes using the $d$-group symmetry, such as a Controlled-Z gate in (3+1)D $\mathbb{Z}_2$ toric code.

研究の動機と目的

• トポロジカルな有限ゲージ理論、特に非アーベル的およびねじれたDijkgraaf-Wittenモデルを含め、高階グローバル対称性を特定・分類すること。
• 磁気的欠陥の1形式対称性とSPT欠陊が、一般化されたWitten効果と電荷・磁束の付着を通じてどのように高階群構造に混合するかを理解すること。
• (3+1)Dにおけるフェルミオン的SPT相の分類に高階グローバル対称性を応用し、H⁵(BG, U(1))障害の簡略化された式を導出すること。
• 高階グローバル対称性と安定化子コードにおけるクリフォード階層との関係を結びつけ、新たな耐障害的論理ゲートを明らかにすること。
• ポストニコフクラス構造を用いて、高階ゲージ理論における異常および相関関数の体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• 一般化されたWitten効果と磁気的欠陥およびゲージ化SPT相間の電荷・磁束の付着を用いて、(d+1)D Dijkgraaf-Wittenゲージ理論におけるd群グローバル対称性を導出する。
• (3+1)DにおけるZ₂およびZ₂²ゲージ理論において、3群対称性の格子模型を構築し、対称性代数を明示的に実現する。
• ポストニコフクラス形式を用いて、d群対称性の't Hooft異常を分類し、H⁴およびH⁵クラスが3群および4群構造を捉える。
• 高階グローバル対称性を用いて、安定化子コードにおける論理ゲートの安定化を図り、クラインボラの位相から生じる(3+1)D Z₂トーリックコードにおける制御Zゲートを同定する。
• バックグラウンドゲージ場技法を用いて異常および相関関数を計算し、一般化されたWitten効果と整合性を検証する。
• コhomologyにおけるカルタンの公式とコバウンダリー項の解析を通じて、フェルミオン的SPT相におけるO₅障害の簡略化された表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ゲージ理論における磁気的欠陥の1形式対称性が、SPT欠陊とどのように混合して高階群対称性を形成するか？
• RQ2 (d+1)D Dijkgraaf-Witten理論におけるd群グローバル対称性の't Hooft異常の正確な構造は何か？
• RQ3 高階グローバル対称性を用いて(3+1)Dにおけるフェルミオン的SPT相をどのように分類できるか？また、H⁵(BG, U(1))障害を簡略化できるか？
• RQ4 高階グローバル対称性と安定化子コードにおけるクリフォード階層との関係は何か？また、新たな論理ゲートを生成できるか？
• RQ5 一般化されたWitten効果と電荷・磁束の付着は、非アーベル的ゲージ理論における磁気的欠陥の融合およびバーニングをどのように変更するか？

主な発見

• 有限ゲージ理論における磁気的欠陥が生成する1形式対称性は、ゲージ化SPT相との結合によって高階群対称性に拡張され、中心拡大を形成する。
• (3+1)D Z₂トーリックコードにおける耐障害的論理ゲートとしての制御Zゲートが、クラインボラの位相から生じる3群対称性によって実現された。
• フェルミオン的SPT相におけるH⁵(BG, U(1))障害の簡略化された式が導出され、従来の結果と一致するが、コhomological恒等式を用いてより洗練された形に表現された。
• フェルミオン的粒子を伴うZ₂ゲージ理論における3群対称性は、(3+1)Dフェルミオン的SPT相を分類する新しい枠組みを提供し、カルタンの公式を用いた明示的な異常計算が可能となった。
• 非ねじれた(3+1)D Z₃₂ゲージ理論において、非自明なH⁴ポストニコフクラスを伴う3群対称性が実現され、高階群構造が確認された。
• 一般化されたWitten効果は、1形式対称性とSPT欠陊の非自明な混合を引き起こし、ボソン的およびフェルミオン的モデルの両方において高階群対称性の出現に不可欠である。