[論文レビュー] Crossed product and Galois extension of monoidal Hom-Hopf algebras

Ning, Yan, Daowei Lu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モノイダルHomホップ代数の文脈において、交叉積、クリフト拡張、ガロア拡張を導入し、交叉積がクリフト拡張と同値であり、さらにクリフト拡張が正規基底性を持つガロア拡張と同値であることを確立している。主な貢献は、ねじれ自己同型を用いたホム代数への一般化を通じて、古典的ホップ＝ガロア理論をホム代数の枠組みへと拡張したことにある。

ABSTRACT

Let $(H,α)$ be a monoidal Hom-Hopf algebra, and $(A,β)$ a Hom-algebra. In this paper we will introduce the crossed product $(A\#_σH,β\otimesα)$, which is a Hom-algebra. Then we will introduce the notions of cleft extensions and Galois extensions respectively, and prove that a crossed product is equivalent to a cleft extension and a cleft extension is equivalent to a Galois extension with normal bases property.

研究の動機と目的

• 通常のホップ代数からモノイダルホップ代数への交叉積およびガロア拡張の理論を一般化すること。
• ホム代数の枠組みにおいてクリフト拡張およびガロア拡張を定義し、それらを研究すること。
• ホム設定における交叉積、クリフト拡張、および正規基底性を持つガロア拡張の同値性を確立すること。
• ホップ代数理論における古典的結果（正規基底を持つホップ＝ガロア拡張と交叉積との同値性）をホム構造の文脈へと拡張すること。

提案手法

• ホム代数 $(A,\beta)$ とモノイダルホップ代数 $(H,\alpha)$ を用いて、ねじれ2コサイクル $\sigma$ を用いて、ホム代数 $(A\#_{\sigma}H, \beta\otimes\alpha)$ を構成する。
• クリフト拡張を、ホム代数の拡張 $A \subset B$ として定義し、その中に畳み込み逆写像 $\gamma: H \to B$ が存在して $B \cong A \#_{\sigma} H$ がホム代数として同型となるものとする。
• ホムコアクションと整合性を持つバイジェクティブな標準写像 $\varphi: B \otimes_A B \to B \otimes H$ を用いて、正規基底性を持つガロア拡張の概念を導入する。ここで $\varphi(a \otimes b) = \beta^{-1}(a)b_{(0)} \otimes \alpha(b_{(1)})$ である。
• 畳み込み逆写像とホムコアクションとの整合性を用いて、標準写像 $\varphi$ が双モジュール同型であるための必要十分条件として、拡張がクリフトであることであることを証明する。
• ホム圏 $\tilde{\mathcal{H}}(\mathcal{M}_k)$ を用いて、ホム代数およびホムコアルゲブラにおけるモノイダル構造を定義し、写像 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ との整合性を保証する。
• 構成によってホムジャコビ恒等式、ホム結合則、ねじれコ結合則が保存されることを検証し、結果として得られる構造が適切に定義されたホム代数およびホムコモジュールであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な交叉積の概念をモノイダルホップ代数の文脈へとどのように一般化できるか。
• RQ2 ホム代数の拡張がクリフトであるための条件は何か。また、畳み込み逆写像の存在とどのように関係するか。
• RQ3 ホム代数の文脈において、正規基底性を持つガロア拡張がクリフト拡張と同値であるための条件は何か。
• RQ4 古典的ホップ代数理論で知られている、交叉積とガロア拡張との同値性が、ホム構造の枠組みへと拡張可能か。

主な発見

• 交叉積 $(A\#_{\sigma}H, \beta\otimes\alpha)$ がホム代数として構成され、ホップ代数理論における古典的交叉積を一般化している。
• 交叉積がクリフト拡張と同値であることが示され、$B \cong A\#_{\sigma}H$ であるための必要十分条件として、$\gamma: H \to B$ が畳み込み逆写像であり、$\gamma(h_1)\gamma(h_2) = \gamma(h_1 h_2)$ かつ $\varepsilon(h)1 = g(\gamma(h))$ を満たすことが挙げられる。
• 正規基底性を持つガロア拡張は、古典的結果をホム設定へと一般化し、クリフト拡張と同値である。
• 標準写像 $\varphi: B \otimes_A B \to B \otimes H$ が $\varphi(a \otimes b) = \beta^{-1}(a)b_{(0)} \otimes \alpha(b_{(1)})$ で定義され、これが双モジュール同型であるための必要十分条件は、拡張がクリフトであることである。
• 左 $A$-モジュールかつ右 $H$-コモジュール写像であるバイジェクティブな写像 $\theta: A \otimes H \to B$ の存在は、$B \cong A\#_{\sigma}H$ がホム代数として同型であることを意味する。
• 補題5.4により、$A \subset B$ が正規基底を持つガロア拡張であることと、$B \cong A\#_{\sigma}H$ であることが同値であることが示され、交叉積 $\Leftrightarrow$ クリフト拡張 $\Leftrightarrow$ 正規基底を持つガロア拡張という同値関係の鎖が完成する。