[論文レビュー] Crossed products by $C_0(X)$-actions

Siegfried Echterhoff, Dana P. Williams|ArXiv.org|Jun 17, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$C_0(X)$-作用に対して、$A \rtimes_\alpha G$ の交叉積を、主 $\widehat{G}_{\text{ab}}$-バンドル $Z_\alpha$ と連続関数 $f_\alpha: X \to H^2(G, \mathbb{T})$ を用いて表現する。ここで $X$ は $\text{Prim}(A)$ の完全正規化である。主な貢献は、作用の構造から導かれる位相的・コホモロジー的データを用いた、具体的かつ分類に基づく交叉積の記述である。

ABSTRACT

Suppose that $G$ has a representation group $H$, that $G_{ab}:= G/\bar{[G,G]}$ is compactly generated, and that $A$ is a \cs-algebra for which the complete regularization of $\Prim(A)$ is a locally compact Hausdorff space $X$. In a previous article, we showed that there is a bijection $α\mapsto (Z_α,f_α)$ between the collection of exterior equivalence classes of locally inner actions $α:G o\Aut(A)$, and the collection of principal $\hgab$-bundles $Z_α$ together with continuous functions $f_α:X o H^2(G,\T)$. In this paper, we compute the crossed products $A times_αG$ in terms of the data $Z_α$, $f_α$, and~$\cs(H)$.

研究の動機と目的

• 局所内包的作用 $\alpha: G \to \text{Aut}(A)$ に対して、$A$ が $C_0(X)$-構造を持つ $C^*$-代数である場合に、$A \rtimes_\alpha G$ の明示的記述を提供すること。
• 外部同値類の分類結果を拡張し、外的同値類の作用を幾何的データ、すなわち主 $\widehat{G}_{\text{ab}}$-バンドル $Z_\alpha$ と関数 $f_\alpha: X \to H^2(G, \mathbb{T})$ に結びつけること。
• $A \rtimes_\alpha G$ を $Z_\alpha$、$f_\alpha$、および $C^*$-代数 $\cs(H)$ を用いて明示的に計算すること。

提案手法

• 主 $\widehat{G}_{\text{ab}}$-バンドル $Z_\alpha$ とコホモロジー的データ $f_\alpha: X \to H^2(G, \mathbb{T})$ を用いて、局所内包的 $G$-作用の外部同値類の分類を利用する。
• $C_0(X)$-代数およびその原始的理想空間の理論を適用し、$X = \overline{\text{Prim}(A)}$ が局所コンパクトかつハウスドルフであると仮定する。
• 群 $G$ の表現群 $H$ とアーベル化 $G_{\text{ab}} = G / \overline{[G,G]}$ を用い、これらがコンパクト生成であると仮定する。
• 交叉積構成を用いて、$A \rtimes_\alpha G$ を $X$ 上の $C^*$-代数として実現し、$\cs(H)$ をファイバーとし、$f_\alpha$ によるねじれをもつ。
• アーベル群の双対性理論を用いて、$\widehat{G}_{\text{ab}}$-バンドルと中心拡大および射影的表現との関係を確立する。
• $A \rtimes_\alpha G$ と $Z_\alpha$ および $f_\alpha$ を用いて構成された一般化された交叉積の間のモラータ同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所内包的作用 $\alpha$ および局所コンパクトハウスドルフ空間 $X$ を持つ $C_0(X)$-代数 $A$ に対して、$A \rtimes_\alpha G$ をどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 局所内包的 $G$-作用の外部同値類と幾何的データ $Z_\alpha$ および $f_\alpha$ の間の正確な関係は何か？
• RQ3 $A \rtimes_\alpha G$ は、主 $\widehat{G}_{\text{ab}}$-バンドル $Z_\alpha$ およびコホモロジー関数 $f_\alpha: X \to H^2(G, \mathbb{T})$ から再構成可能か？
• RQ4 $A \rtimes_\alpha G$ のファイバーワイズ構造において $C^*$-代数 $\cs(H)$ が果たす役割は何か？
• RQ5 $\text{Prim}(A)$ の完全正規化を $X$ として用いることで、交叉積の分類および計算にどのような影響が生じるか？

主な発見

• $A \rtimes_\alpha G$ は、主 $\widehat{G}_{\text{ab}}$-バンドル $Z_\alpha$ と連続関数 $f_\alpha: X \to H^2(G, \mathbb{T})$ からなるペア $(Z_\alpha, f_\alpha)$ によって完全に決定される。
• $A \rtimes_\alpha G$ と $Z_\alpha$ および $f_\alpha$ を用いて構成された一般化された交叉積との間にはモラータ同値性が存在し、ファイバーは $\cs(H)$ に同型である。
• この構成により、$A \rtimes_\alpha G$ は $X$ 上の $C_0(X)$-代数として実現され、$x \in X$ におけるファイバーは $\cs(H) \rtimes_{\rho_x} G$ に同型であり、$f\_\alpha(x)$ によるねじれをもつ。
• 局所内包的作用の外部同値類の分類は、ペア $(Z_\alpha, f_\alpha)$ の集合と一対一対応する。これは、分野における先行研究を拡張するものである。
• 本稿は、位相的およびコホモロジー的データを用いた $A \rtimes_\alpha G$ の完全な計算フレームワークを提供し、群作用による交叉積の既存結果を一般化する。