[論文レビュー] Crossed products by Hecke pairs I: *-algebraic theory

Rui Palma|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、G/Γ が群でない場合に群のクロスド・積を一般化する、ヘック対 (G,Γ) による ∗-代数的枠組みを導入する。Fell バンドルを軌道群準に用いて ∗-代数的クロスド・積を構成し、ヘック代数の前表現と整合する共変表現理論を確立することで、Γ ⊴ G の場合に古典的クロスド・積を回復し、既知の C∗-結果を ∗-代数的レベルへ拡張する。

ABSTRACT

We develop a theory of crossed products by "actions" of Hecke pairs $(G, Γ)$, motivated by applications in non-abelian $C^*$-duality. Our approach gives back the usual crossed product construction whenever $G / Γ$ is a group and retains many of the aspects of crossed products by groups. In this first of two articles we lay the $^*$-algebraic foundations of these crossed products by Hecke pairs and we explore their representation theory.

研究の動機と目的

• G/Γ が群でない場合に、古典的クロスド・積を一般化するヘック対 (G,Γ) による ∗-代数的クロスド・積理論を構築すること。
• Γ が G に正規である場合に、構成が標準的クロスド・積を回復することを保証すること。
• ヘック代数の前表現と整合する、標準的な生成集合および共変表現を定義すること。
• C∗-完備化および非アーベル C∗-双対性への応用のための基盤を提供すること。
• ヘック代数の前表現を用いて、群クロスド・積の表現理論をヘック対設定へ拡張すること。

提案手法

• G が離散群準に作用するとき、その軌道空間 X/Γ が群準に成り立つ条件の下で、X にたいする G-作用に関する Fell バンドルを構成する。
• 畳み込みおよび軌道上の対合を用いて、$ C_c(\mathcal{A}/\Gamma) \times^{\text{alg}}_{\alpha} G/\Gamma $ として ∗-代数的クロスド・積を定義する。
• π が $ C_c(\mathcal{A}/\Gamma) $ の ∗-表現で、μ がヘック代数 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ のユニタル前 ∗-表現であるような対 (π, μ) を用いて共変前 ∗-表現を導入する。
• 非退化なクロスド・積の ∗-表現と、共変前 ∗-表現の間で一対一対応が成立することを確立する。
• 軌道分解と群準の作用を用いて、クロスド・積内での積の明示的公式を導出し、群の指数計算により係数の恒等式を証明する。
• ヘック代数 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ がクロスド・積の乗法的代数に自然に埋め込まれることを示し、群の場合を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G/Γ が群でない場合に、ヘック対 (G,Γ) に対して意味のあるクロスド・積構成が可能か、古典的群クロスド・積を一般化できるか。
• RQ2 G/Γ に群構造がない場合に、ヘック対設定における共変表現はどのように特徴づけられるか。
• RQ3 ヘック代数 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ はクロスド・積の表現理論においてどのような役割を果たすか。
• RQ4 クロスド・積の標準的生成要素は畳み込みにおいてどのように振る舞い、その構造を支配する恒等式は何か。
• RQ5 Γ が G に正規である場合に、構成が古典的クロスド・積を回復する条件は何か。

主な発見

• クロスド・積 $ C_c(\mathcal{A}/\Gamma) \times^{\text{alg}}_{\alpha} G/\Gamma $ は、群クロスド・積における $ a*g $ に類似した標準的生成集合を備える。
• ヘック代数 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ は、クロスド・積の乗法的代数に自然に埋め込まれ、古典的状況における群代数の役割を果たす。
• 非退化なクロスド・積の ∗-表現と、μ が $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ の前 ∗-表現である形の共変前 ∗-表現 (π, μ) の間には一対一対応が存在する。
• 積 $ \Gamma g\Gamma * [a]_{x\Gamma} * \Gamma s\Gamma $ は軌道分解により明示的に計算され、係数が $ \frac{\#\mathcal{O}_{u,v} \Delta(g) N_{u^{-1},v}^{y}}{L(u^{-1}v)} = 1 $ を満たすことで一貫性が保証される。
• G が X に自由に作用するとき、共変性条件は $ \pi(\alpha_{u^{-1}}(a))_{xu\Gamma} $、$ \mu(\Gamma u^{-1}v\Gamma) $、および $ \widetilde{\pi}(1_{\mathbf{s}(x)v\Gamma}) $ を含む明示的公式に簡略化され、表現条件と同値であることが証明される。
• Γ が G に正規である場合、構成は古典的クロスド・積を回復し、可換 C∗-代数の場合に Laca-Larsen-Neshveyev の C∗-構成と一致する。