[論文レビュー] Crystalline Galois Representations arising from K3 Surfaces

Bruno Chiarellotto, Christopher Lazda+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、p進体上のK3曲面におけるエタールコホロジー表現が、有限分岐でない拡大の後で良い還元を獲得する場合に限りクリスタリンであることを確立している。さらに、フォンタインとキシンの関手が、特異点が canonical な特異点を持つモデルの特別纤维の最小解消のクリスタリンコホロジーを計算することを示している。

ABSTRACT

Let $K$ be a $p$-adic field and let $X$ be a K3 surface over $K$. Assuming potential semi-stable reduction, we show that the ${ m Gal}(\overline{K}/K)$-representation on $H^2_{ m et}(X_{\overline{K}},{\mathbb Q}_p)$ is crystalline if and only if $X$ has good reduction after a finite and unramified extension of $K$. However, $X$ usually does not have good reduction over $K$ in this case, but it admits a model over ${\mathcal O}_K$, whose special fiber ${\cal X}_0$ has canonical singularities. Moreover, we show that functors of Fontaine and Kisin compute the crystalline cohomology of the minimal resolution of singularities of ${\cal X}_0$.

研究の動機と目的

• p進体上のK3曲面のエタールコホロジー上のガロア表現がクリスタリンであるための正確な条件を特定すること。
• 特に、元の体では良い還元が得られないが、分岐でない拡大の後で得られる場合の、p進体上のK3曲面の還元行動を分析すること。
• 体の整数環上のK3曲面のモデルの特異な特別纤维を研究し、それが canonical 特異点を持つことを示すこと。
• フォンタインとキシンの関手が、特別纤维の特異点の最小解消のクリスタリンコホロジーを計算することを確立すること。

提案手法

• 潜在的半安定還元の仮定を用いて、$ H^2_{\text{ét}}(X_{\bar{K}}, \bbQ_p) $ 上のガロア表現の構造を分析する。
• ネロンモデルおよびネロンの最小モデルプログラムの理論を用いて、$ \bbZ_p $ 上に canonical 特異点を持つK3曲面のモデル $ \frak{X}_0 $ を構成する。
• 対数構造および半安定還元の理論を用いて、一般纤维のコホロロジー的性質と特別纤维との関係を結ぶ。
• フォンタインとキシンの関手を用いて、$ \frak{X}_0 $ の最小解消のクリスタリンコホロジーを計算し、p進ホッジ理論と算術幾何学を結びつける。
• クリスタリンな場合のエタールコホロジーとクリスタリンコホロジーの比較同型を用いて、関手が解消と整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進体 $ K $ 上のK3曲面 $ X $ に対して、$ H^2_{\text{ét}}(X_{\bar{K}}, \bbQ_p) $ 上のガロア表現がいつクリスタリンか？
• RQ2 クリスタリン表現の存在は、K3曲面が $ K $ の有限分岐でない拡大で良い還元を獲得することを示唆するか？
• RQ3 K で良い還元を持たない場合、$ \bbZ_K $ 上の $ X $ のモデルの特別纤维の性質は何か？
• RQ4 フォンタインとキシンの関手は、特別纤维の特異点の最小解消のクリスタリンコホロジーを計算するために用いることができるか？
• RQ5 特別纤维の特異点は、一般纤维のコホロロジー的性質とどのように関係するか？

主な発見

• 潜在的半安定還元の仮定のもとで、$ H^2_{\text{ét}}(X_{\bar{K}}, \bbQ_p) $ 上のガロア表現がクリスタリンであることは、$ K $ の有限分岐でない拡大の後で $ X $ が良い還元を獲得するときかつそのときに限り成り立つ。
• $ X $ が $ K $ で良い還元を持たない場合でも、特別纤维 $ \frak{X}_0 $ が canonical 特異点のみをもつ $ \bbZ_K $ 上のモデルをもつ。
• $ \frak{X}_0 $ の最小解消は、明確に定義されたクリスタリンコホロジーを持ち、それがフォンタインとキシンの関手によって計算される。
• $ \frak{X}_0 $ の最小解消のクリスタリンコホロジーは、$ H^2_{\text{ét}}(X_{\bar{K}}, \bbQ_p) $ 上のガロア表現の $ \bbQ_p $ 実現と同型であり、p進ホッジ理論との整合性を確認する。
• $ \frak{X}_0 $ の特異点は弱い（canonical）であり、解消がコホロロジー的不変量が制御された滑らかな曲面であることを保証する。