[論文レビュー] Stable maps and singular curves on K3 surfaces

Michael Kemeny|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 96被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、安定写像と変形理論を用いてK3表面の特異曲線を研究し、滑らかな曲線からK3表面への分岐のない準同型に注目する。一般に、このような写像のスタックから曲線のモジュライ空間へのモジュライ写像が、ほとんどの場合、その像へと一般に有限であることを確立し、Brill–Noether理論の新しい枠組みを提供するとともに、シミレティック自己同型をもつK3表面におけるチャウ群やガウス過程への応用を進める。

ABSTRACT

In this thesis we study singular curves on K3 surfaces. Let $\mathcal{B}_g$ denote the stack of polarised K3 surfaces of genus $g$ and set $p(g,k)=k^2(g-1)+1$. There is a stack $ \mathcal{T}^n_{g,k} o \mathcal{B}_g$ with fibre over the polarised surface $(X,L)$ parametrising all unramified morphisms $f: C o X$, birational onto their image, with $C$ an integral smooth curve of genus $ p(g,k)-n$ and $f_*C \sim kL$. One can think of $ \mathcal{T}^n_{g,k}$ as parametrising all singular curves on K3 surfaces such that the normalisation map is unramified (or equivalently such that the curve has "immersed" singularities). The stack $ \mathcal{T}^n_{g,k}$ comes with a natural moduli map $$η\; : \;\mathcal{T}^n_{g,k} o \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$$ to the Deligne-Mumford stack of curves, defined by forgetting the map to the K3 surface. We first show that $η$ is generically finite (to its image) on at least one component of $\mathcal{T}^n_{g,k} $, in all but finitely many values of $p(g,k)-n$. We also consider related questions about the Brill-Noether theory of singular curves on K3 surfaces as well as the surjectivity of twisted Gaussian maps on normalisations of singular curves. Lastly, we apply the deformation theory of $\mathcal{T}^n_{g,k}$ to a seemingly unrelated problem, namely the Bloch-Beilinson conjectures on the Chow group of points of K3 surfaces with a symplectic involution.

研究の動機と目的

• 安定写像を用いたK3表面の特異曲線を研究するための新しいモジュライ理論的枠組みを構築すること。
• 安定写像から曲線のモジュライ空間へのモジュライ写像の幾何を分析すること。
• K3表面に存在するノード型および特異曲線のBrill–Noether理論を調査すること。
• 安定写像の変形理論を、シミレティック自己同型をもつK3表面に対するBloch–Beilinson予想に応用すること。
• K3表面の特異曲線の正規化におけるねじれガウス過程の上への性について理解すること。

提案手法

• 滑らかな曲線（ genus $p(g,k)-n$ ）から極付きK3表面（ genus $g$ ）への分岐のない、双有理的な写像をパラメトライズするスタック $\mathcal{T}^{n}_{g,k}$ を構成する。
• 各安定写像をその像曲線の正規化へ送る自然なモジュライ写像 $\eta: \mathcal{T}^{n}_{g,k} \to \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$ を定義する。
• 変形理論を用いて $\eta$ のファイバー次元を分析し、ある条件下で一般に有限であることを証明する。
• Brill–Noetherパラメータ $\rho(g,r,d)$ についての帰納法を用い、評価写像を介して線分束の基点自由部を分析する。
• 半安定還元とねじれ自由な層の平坦な族を用いて、退化とファイバー次元を制御する。
• 普遍性を用いて $\overline{W}^r_d(C)$ を特定し、滑らかな部分に有効な線分束のモジュライ空間を同定することで、ファイバー次元を有界化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタック $\mathcal{T}^{n}_{g,k}$ の少なくとも1つの成分に対して、モジュライ写像 $\eta: \mathcal{T}^{n}_{g,k} \to \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$ はその像へ一般に有限であるか？
• RQ2 K3表面の特異曲線のBrill–Noether理論、特にノード型モデルについてどうか？
• RQ3 K3表面の特異曲線の正規化におけるねじれガウス過程が上への性を示す条件は何か？
• RQ4 安定写像の変形理論は、シミレティック自己同型をもつK3表面に対するBloch–Beilinson予想にどのように応用できるか？
• RQ5 有理曲面の和への退化なしに、K3表面の特異曲線の幾何を研究できるか？

主な発見

• すべての $g$ および $k$ に対して、$g$ および $k$ が有限個を除いて、モジュアイ写像 $\eta: \mathcal{T}^{n}_{g,k} \to \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$ は少なくとも1つの成分においてその像へ一般に有限である。
• 一般に有限性の証明は、評価写像の余核を曲線の滑らかな部分と特異部分に分解することで、ファイバー次元を制御することに依存する。
• 任意の $|L|$ に属する整かつノード型の曲線 $C$ に対して、$\rho(g,r,d) < 0$ のときBrill–Noether定理が成り立ち、開発された枠組みにより、このような曲線へ拡張可能である。
• 写像 $f: I^0 \to \overline{W}^{r'}_{d'}(C)$ のファイバー次元は $d - d'$ で有界であり、$r > 0$ のとき $\dim(I) < \rho(g,r,d)$ を保証する。
• 次数 $d - d' - e$ の線分束によるねじれを用いて、写像 $g: I^0 \to \overline{W}^{r'}_{d-e}(C)$ を構成し、滑らかな部分の対称積の次元を用いてファイバー次元を制御できる。
• これらの結果は、安定写像理論と代数幾何学の古典的問題（特にNikulin自己同型をもつK3表面に対するBloch–Beilinson予想）との間の橋渡しを確立する。