[論文レビュー] Crystalline representations of G_Qp^a with coefficients

Hui June Zhu|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体$E$を係数にもつ$ \mathrm{Gal}( \overline{\mathbb{Q}}_{p^a}/\mathbb{Q}_{p^a})$ のクリスタリン表現に対して、Fontaine-Laffaille型の対応を確立し、$\sigma$-不変Hodge-Tate重みが$p-1$未満であるとき、Galois安定な格子と強可除的$\varphi$-格子の間の双対性を証明する。2次元クリスタリン表現とそのmod $p$還元を分類し、Deligne, Fontaine-Serre, Edixhovenの結果をこの条件下でヒルベルトモジュラー形式へ一般化する。

ABSTRACT

This paper studies crystalline representations of G_K with coefficients of any dimension, where K is the unramified extension of Q_p of degree a. We prove a theorem of Fontaine-Laffaille type when σ-invariant Hodge-Tate weight less than p-1, which establishes the bijection between Galois stable lattices in crystalline representations and strongly divisible ϕ-lattice. In generalizing Breuil's work, we classify all reducible and irreducible crystalline representations of G_K of dimensional 2, then describe their mod p reductions. We generalize some results (of Deligne, Fontaine-Serre, and Edixhoven) to representations arising from Hilbert modular forms when σ-invariant Hodge-Tate weight less than p-1.

研究の動機と目的

• 係数体$E$が$\mathbb{Q}_{p^a}$を含む$p$-進体であるようなクリスタリン表現へのFontaine-Laffaille理論の拡張を図り、古典的対応を高次元および係数適合設定に一般化すること。
• G_{\mathbb{Q}_{p^a}}のすべての2次元の既約および可約クリスタリン表現を分類し、そのmod $p$還元を記述すること。
• \sigma-不変Hodge-Tate重みが$p-1$未満であるという条件下で、ヒルベルトモジュラー形式から生じるGalois表現のmod $p$還元に関するDeligne, Fontaine-Serre, Edixhovenの結果を一般化すること。
• 指定されたHodge多角形$\mathbf{k}$を持つクリスタリン表現の同型類と、\mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)/\sim_{\sigma,\mathbf{k}}の間の構造的双対性を用いてクリスタリン表現を構成すること。

提案手法

• 各行列$A \in \mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)$が、指定されたHodge-Tate重みを持つフィルトレーテッド$\varphi$-加群への作用により表現を定義する、双対性$\Theta: \mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)/\sim_{\sigma,\mathbf{k}} \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{cris}/E}^{\mathbf{k}}(G_K)$を構成する。
• 埋め込み強可除的$\varphi$-格子を定義し、$\sigma$-不変変動を伴うニュートン多角形とHodge多角形を用いて、フィルトレーテッド$\varphi$-加群の構造を分析する。
• 埋め込みWachモジュールとその連続性を用いて、mod $p$還元を上げ、特に2次元の場合の$\varphi$作用を研究する。
• Wachモジュールのmod $p$還元における$\varphi$作用を用いて、$\mathbb{F}_p((\pi))$内に非自明な$\varphi$-不変部分加群が存在しないことを示し、可約性を証明する。
• mod $p$還元の行列式を用いて、関連する特徴$\omega_{2a}^{\sum k_j p^j}$を同定し、Galois表現をmod $p$の円分特徴のねじれに結びつける。
• 基底変換を用いて、表現のmod $p$還元を2つの特徴の直和と比較し、$\overline{V}|_{I_K} \cong \omega_{2a}^{\sum k_j p^j} \oplus \omega_{2a}^{p^a \sum k_j p^j}$を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数体$E$が$p$-進体であるようなクリスタリン表現に対して、Fontaine-Laffaille型の対応が成立する条件は何か？
• RQ2 G_{\mathbb{Q}_{p^a}}のすべての2次元クリスタリン表現をどのように分類できるか、そのmod $p$還元は何か？
• RQ3 クリスタリン表現のmod $p$還元は、格子の選び方に依存せず、Hodge-Tate重みにのみ依存する条件は何か？
• RQ4 \sigma-不変Hodge-Tate重みが$p-1$未満であるという条件下で、Deligne, Fontaine-Serre, Edixhovenの結果は、ヒルベルトモジュラー形式から生じるGalois表現へどのように一般化されるか？

主な発見

• Hodge多角形$\mathbf{k}$を指定した、$\mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)/\sim_{\sigma,\mathbf{k}}$から$\mathrm{Rep}_{\mathrm{cris}/E}^{\mathbf{k}}(G_K)$への双対性$\Theta$が構成され、$\mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)$の行列とクリスタリン表現とを明示的に結びつける。
• $\sigma$-不変Hodge-Tate重みが$p-1$未満であるとき、関手$\mathbf{D}_{\mathrm{cris}}^*$は、クリスタリン表現内のGalois安定格子と、関連するフィルトレーテッド$\varphi$-加群内の強可除的$\varphi$-格子との間で双対性を誘導する。
• \mathrm{ord}_p(\vec{v}) > 0$を満たす2次元クリスタリン表現$V_{{\vec{k}},\vec{v},\vec{1}}$に対して、mod $p$還元は$\overline{V}_{{\vec{k}},\vec{v},\vec{1}} \cong \overline{V}_{{\vec{k}},{\vec{0}},\vec{1}}$を満たし、この条件下で$\vec{v}$に依存しないことが示される。
• mod $p$還元$\overline{V}_{{\vec{k}},{\vec{0}},\vec{1}}$は、$\mathbb{F}_p((\pi))^{\mathrm{sep}}$上のエタール$(\varphi,\Gamma)$-加群として可約でない。これは、$\varphi^a$の特性方程式が$\mathbb{F}_p((\pi))$内で解をもたないことを示すことにより証明される。
• $\overline{V}_{{\vec{k}},{\vec{0}},\vec{1}}$のインertia群$I_K$への制限は、$\omega_{2a}^{\sum k_j p^j} \oplus \omega_{2a}^{p^a \sum k_j p^j}$に同型であり、mod $p$Galois表現が2つの特徴の直和として明示的に同定される。