[論文レビュー] Unramifiedness of Galois representations attached to weight one Hilbert modular eigenforms mod p

Mladen Dimitrov, Gabor Wiese|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特徴値 0 に持ち上げられない場合でさえも、$\overline{\mathbb{F}}_p$ 上の平行重量 1 および $p$ と素なレベルをもつヒルベルトモジュラー固有形式に付随するガロア表現が、$p$ を割るすべての素点 $\mathfrak{p}$ で非分岐であることを証明する。証明は $p$-進および mod $p$ ヒッケ作用素、$q$-展開技法、およびモジュール上での $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ の非半単純作用に起因する矛盾を用い、中間の補題と表現論的降下により非分岐性を確立する。

ABSTRACT

The main result of this article states that the Galois representation attached to a Hilbert modular eigenform defined over F_p^bar of parallel weight 1 and level prime to p is unramified above p. This includes the important case of eigenforms that do not lift to Hilbert modular forms in characteristic 0 of parallel weight 1. The proof is based on the observation that parallel weight 1 forms in characteristic p embed into the ordinary part of parallel weight p forms in two different ways per prime dividing p, namely via `partial' Frobenius operators.

研究の動機と目的

• $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上の平行重量 1 および $p$ と素なレベルをもつヒルベルトモジュラー固有形式に付随するガロア表現が、特徴値 0 に持ち上げられない場合でさえも、$p$ を割るすべての素点 $\mathfrak{p}$ で非分岐であることを確立すること。
• 全分岐情報、特に重量 1 の形式を含む、完全な形でのセール型モジュラー性予想を総実体上に拡張すること。
• ヒルベルトモジュラー形式の mod $p$ 空間におけるヒッケ作用素 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ の作用を、特に $q$-展開および通常型／通常型に類似した領域の文脈で構築し、分析すること。
• 逆ガロア問題における主要な障害を解消し、$p$ で非分岐である $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$-拡大の例を提供すること、これは通常明示的に構成するのが難しい。

提案手法

• 平行重量 $k \geq 1$ および $p$ と素なレベルをもつ $\operatorname{mod} p$ ヒルベルトモジュラー形式に作用するヒッケ作用素 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ を、$q$-展開データと非通常型領域からの幾何的入力を用いて構成する。
• $q$-展開データが $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ を一意に決定することを用い、アデール的 $q$-展開上での作用を明示的に計算可能にする。
• 仮定として $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ が $\mathbb{T}'_k \otimes \overline{\mathbb{F}}_p$ に属すると仮定し、これにより $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ が特定のモジュール $W_\mathfrak{p}$ 上で半単純に作用することになり、命題 4.1(c) と矛盾する。
• ガロア群 $G_F$-モジュール $\mathcal{M}$ に中間の補題を適用し、非分岐商 $\mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$ が $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上で次元 2 であることを示し、これによりガロア表現 $\rho_f$ が $\mathfrak{p}$ で非分岐であることが示される。
• $\rho_f$ を $\mathfrak{m}'$ で割ったものに還元し、$\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M}$ 上での $\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}$ の作用の構造を用いて、それが等しい固有値を持つ行列で表されることを示し、非分岐性を確認する。
• Emerton, Reduzzi, Xiao [17] の幾何的結果に依拠し、この構成の目的では非通常型領域を無視してもよいことになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値 0 に持ち上げられない場合でさえも、$\overline{\mathbb{F}}_p$ 上の平行重量 1 のヒルベルトモジュラー固有形式に付随するガロア表現が、$p$ を割るすべての素点 $\mathfrak{p}$ で非分岐であるか。
• RQ2 特に重量 $k=p$ の場合に、$q$-展開を用いて、$\operatorname{mod} p$ ヒルベルトモジュラー形式上でのヒッケ作用素 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ の作用を明示的に記述できるか。
• RQ3 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ が関連するモジュール $W_\mathfrak{p}$ 上で半単純か。これは関連するガロア表現の構造にどのような含意を持つか。
• RQ4 $\mathcal{M}^-$ がヘッケ環 $\mathbb{T}'_k$ 上で自由でないことを用いて、$\rho_f$ が $\mathfrak{p}$ で非分岐であることを導けるか。
• RQ5 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ の非半単純作用が $\rho_f$ が通常型でないことを示唆するが、それでも非分岐性が保たれるのか。これはガロア表現の構造とどのように調和するか。

主な発見

• 平行重量 1 および $p$ と素なレベルをもつ $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上のヒルベルトモジュラー固有形式に付随するガロア表現 $\rho_f$ は、特徴値 0 に持ち上げられない場合でさえも、$p$ を割るすべての素点 $\mathfrak{p}$ で非分岐である。
• $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ がヒルベルトモジュラー形式の $q$-展開上で作用する様子は、$a((0), T_\mathfrak{p}^{(k)}f) = a((0),f)[\mathfrak{p}] + \operatorname{N}_{F/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p})^{k-1} a((0),\langle\mathfrak{p}\rangle f)[\mathfrak{p}^{-1}]$ で明示的に与えられ、高レベル項に対しても同様に成り立つ。
• 矛盾は、$T_\mathfrak{p}^{(p)}$ が $W_\mathfrak{p}$ 上で非半単純に作用する一方で、$\mathbb{T}'$ は特性で作用するため生じる。これにより $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ は $\mathbb{T}'_k \otimes \overline{\mathbb{F}}_p$ に属しえないことが示され、これが証明の根幹をなす。
• $\mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$ は $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上で次元 2 である。これにより $\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M} \simeq \mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$ が成り立ち、$\rho_f$ が $\mathfrak{p}$ で非分岐であることが示される。
• $\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M}$ 上での $\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}$ の作用は行列 $\begin{pmatrix} \alpha_\mathfrak{p} & * \\ 0 & \alpha_\mathfrak{p} \end{pmatrix}$ で表され、トレースが $2\alpha_\mathfrak{p}$ であることが確認され、非分岐性と整合的である。
• $\mathcal{M}^-$ が $\mathbb{T}'_k$ 上で自由でないため、$\rho_f$ は $\mathfrak{p}$ で通常型ではない。これは $U$-作用素が必要であることを示唆している。