[論文レビュー] Cubical Syntax for Reflection-Free Extensional Equality

Jonathan Sterling, Carlo Angiuli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Logic, programming, and type systems参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、反射を用いないことで拡張的等価性を達成する立方体型理論XTTを紹介する。これにより、新しい立方体構文を用いて関数の拡張性と同一証明の判断的一意性を実現する。CoquandとShulmanのインスピレーションを受けるカテゴリカルなグリューリングの立方体的拡張を用いて、すべての閉じたブール項が判断的にtrueまたはfalseに等しいことを証明することで、代数的正規性を確立する。

ABSTRACT

We contribute XTT, a cubical reconstruction of Observational Type Theory which extends Martin-Löf's intensional type theory with a dependent equality type that enjoys function extensionality and a judgmental version of the unicity of identity types principle (UIP): any two elements of the same equality type are judgmentally equal. Moreover, we conjecture that the typing relation can be decided in a practical way. In this paper, we establish an algebraic canonicity theorem using a novel cubical extension (independently proposed by Awodey) of the logical families or categorical gluing argument inspired by Coquand and Shulman: every closed element of boolean type is derivably equal to either 'true' or 'false'.

研究の動機と目的

• 等価性の反射に依存せず、等価性の決定性を保つ型理論の開発。
• 関数の拡張性と同一証明の一意性をサポートする実用的で決定可能な型付けシステムの提供。
• ブール型に対する代数的正規性の確立を、カテゴリカルなグリューリングの立方体的一般化を用いて行う。
• 計算的適切性と意味的不変性をサポートする立方体的枠組み内で、観察型理論を再構築すること。

提案手法

• 等価性の反射を判断的一意性原理に置き換えることで、観察型理論の立方体的拡張としてXTTを構築する。
• 経路型とファイブレーションに基づく立方体的構文を用い、正規性を保ちつつ等価性を内部化する。
• CoquandとShulmanのインスピレーションを受ける、新しい立方体的バージョンのカテゴリカルなグリューリングの議論を適用し、代数的正規性を証明する。
• 境界分離と型ケースを尊重する形で、すべての型形成子（依存関数、ペア、経路、ユニバース）のリーダーを定義する。
• 閉じたブール項がtrueまたはfalseに簡約されることを保証するために、cpo値のモデルの内部言語を活用する。
• 構文的モデルC⋆が、一意性、コercion、型ケースを含むすべての必要な型理論的原則を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等価性の反射に依存せずに、決定性と正規性を保ちながら、拡張的等価性を型理論に内部化することは可能か？
• RQ2 立方体型理論をどのように用いることで、反射を用いずに関数の拡張性と同一証明の一意性を達成できるか？
• RQ3 カテゴリカルなグリューリングの議論を立方体型理論に適応し、ブール型に対する代数的正規性を証明することは可能か？
• RQ4 すべての標準的型形成子をサポートし、必要な計算的および意味的性質を満たすXTTのモデルを構築することは可能か？
• RQ5 立方体的構文により、型付け関係に対する実用的な決定手続きを提供できるか？

主な発見

• 本稿は、XTTにおけるすべての閉じたブール型の項が、判断的にtrueまたはfalseに等しいことを証明し、代数的正規性を確立した。
• XTTは、等価性の反射を用いずに、関数の拡張性と同一証明の一意性（UIP）の判断的バージョンをサポートする。
• XTTの型付け関係は、決定可能であると予想されており、実装可能性に向けた実用的兆候を示している。
• 構文的モデルC⋆は、依存関数型、依存ペア、経路型、ユニバースを含むすべての必要な型理論的原則を満たす。
• モデルC⋆がXTT代数のホモモーティズムであることが示され、その妥当性と整合性が確認された。
• 境界分離と型ケースがモデルで保たれており、型レベルおよび項レベルの構成において堅牢性が保証された。