[論文レビュー] Curling Numbers of Certain Graph Powers

C Susanth, Sunny Joseph Kalayathankal+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、パスグラフ、完全二分木、n-分木に対して、グラフのべき乗におけるカールィング数および合成カールィング数を調査する。特に、r が n/2 に対して相対的にどのように位置づけられるかに応じて、パス P_n の r 乗におけるカールィング数が変化することを示し、完全二分木ではカールィング数が 2^h で、合成カールィング数が 2^(h+1 choose 2) であることを導出する。

ABSTRACT

Given a finite nonempty sequence $S$ of integers, write it as $XY^k$, where $Y^k$ is a power of greatest exponent that is a suffix of $S$: this $k$ is the curling number of $S$. The concept of curling number of sequences has already been extended to the degree sequences of graphs to define the curling number of a graph. In this paper we study the curling number of graph powers, graph products and certain other graph operations.

研究の動機と目的

• 整数列および次数列に対するカールィング数の概念を、グラフのべき乗へと拡張すること。
• パス、完全二分木、キャタピラーなどの標準的グラフクラスの整数べき乗におけるカールィング数および合成カールィング数を特定すること。
• さまざまなグラフ演算およびべき乗におけるこれらの不変量に対する一般公式を確立すること。
• 今後のグラフ理論におけるカールィング数パラメータに関連する未解決問題を同定すること。

提案手法

• グラフ G の r 乗を、同じ頂点集合を持ち、G 内の頂点間の距離が r 以下である場合に辺を有するグラフ G^r として定義する。
• G^r の次数列を分析し、繰り返しの出現（同一性部分列）を特定する。これによりカールィング数を計算する。
• G^r の次数列を整数の文字列とみなして、カールィング数の定義を適用し、接尾辞の累乗の最大指数を計算する。
• 合成カールィング数の公式 cn^c(G) = ∏k_i を用い、次数列内の同一性部分列の指数 k_i を使用する。
• 対称性および完全二分木や n-分木におけるレベルごとの次数の一様性を活用し、パスおよび木構造に対して組合せ論的・構造的解析を適用する。
• パスグラフについては r と n/2 の関係に基づいてケースを分類し、木構造についてはレベルごとの次数カウントにより閉形式の式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r ≤ ⌊n/2⌋ のとき、パスグラフ P_n の r 乗におけるカールィング数はどのように変化するか？特に r が n/2 に対して相対的にどのように位置づけられるかに応じて。
• RQ2 完全二分木の整数べき乗におけるカールィング数および合成カールィング数は、どのように振る舞うか？
• RQ3 完全 n-分木の r 乗におけるカールィング数について、一般公式を導出できるか？
• RQ4 任意のキャタピラー・グラフ G 及びそのべき乗におけるカールィング数および合成カールィング数は何か？
• RQ5 べき乗や積などのグラフ演算におけるカールィング数および合成カールィング数の一般的性質は何か？

主な発見

• r ≤ ⌊n/2⌋ のとき、パス P_n の r 乗におけるカールィング数は、r = ⌊n/2⌋ ならば 2、r < ⌊n/2⌋−1 ならば n−2r、⌊n/2⌋ ≤ r ≤ n−1 ならば 2(r+1)−n である。
• 高さ h の完全二分木の r 乗におけるカールィング数は 2^h であり、その合成カールィング数は 2^(h+1 choose 2) である。
• 高さ h の完全 n-分木の r 乗におけるカールィング数は n^h であり、合成カールィング数は ∏_{i=0}^h n^i である。
• キャタピラー・グラフ G のカールィング数は max{η, ∑l_i} である。ここで η は内部頂点における次数の最大頻度、∑l_i は全葉の総数である。
• 内部頂点の次数に十分な構造的制約がないため、任意のキャタピラーの合成カールィング数は計算が困難である。
• 直径 d を持つ任意のグラフ G について、r ≥ d ならば G^r は完全グラフとなるため、カールィング数は |V(G)| に等しい。