[論文レビュー] Current algebras from QP-manifolds in general dimensions

Noriaki Ikeda, Xiaomeng Xu|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、QP多様体と階数付きシンプレクティック構造上の導来括弧を用いて、量子場の理論における現在代数の統一的超幾何的枠組みを提案する。スーパーマニフォールドからの写像空間に対して正準変換とねじれた導来括弧を適用することにより、異常項を含むか含まないかにかかわらず、現在代数を体系的に導出する。これは、Kac-Moody や Courant 代数的現在代数といった既知のケースを一般化し、高次代数的構造を含む。

ABSTRACT

We propose a new unified formulation of the current algebra theory in general dimensions in terms of supergeometry. We take a QP-manifold, i.e. a differential graded (dg) symplectic manifold, as a fundamental framework. A Poisson bracket in a current algebra is constructed by the so called derived bracket of the graded Poisson structure induced from the above QP-structure. By taking a canonical transformation on a QP-manifold, correct anomalous terms in physical theories are derived. A large class of current algebras with and without anomalous terms (central extensions) are constructed from the above structure. Moreover, using this formulation, a new class of current algebras related higher structures are systematically obtained.

研究の動機と目的

• 現在代数（異常項を含む）を、量子場の理論において一般の幾何的枠組みとして開発すること。
• Kac-Moody や Courant 代数的タイプの既知の現在代数を、一つの超幾何的形式的体系に統合すること。
• 階数付きシンプレクティック幾何学を用いて、高次代数的構造を有する現在代数を体系的に導出すること。
• 正準変換とQP構造のねじりによって、異常項の幾何的起源を明らかにすること。
• AKSZ形式的体系をスーパーマニフォールドの写像空間を用いて拡張し、現在代数理論を記述すること。

提案手法

• この枠組みは、特に $T^*[n+1]\mathcal{M}$ 上の階数付きシンプレクティック構造を、基本的な幾何的設定として用いるQP多様体を用いる。
• 現在代数は、$\Sigma_n$ を $n$ 次元多様体とするとき、拡張写像空間 $\mathrm{Map}(T[1]\Sigma_n, T^*[n+1]\mathcal{M})$ 上の関数の導来括弧によって構成される。
• 異常項は、次数 2 の関数 $\alpha$（例：$\alpha = \frac{1}{2}\pi^{IJ}(x)p_I p_J$）を用いた、元の階数付きシンプレクティック構造のねじりによって生じる。
• ねじれた導来括弧 $\{\{\{J_1, \Theta\}_b, J_2\}_b\}$ は、ターゲット空間 $\mathcal{M}$ 上の小さなポアソン括弧を生成し、これにより現在代数が符号化される。
• 拡張空間上のポアソン代数と基本空間上の現在代数を関係付けるために、ねじれたプッシュバックと呼ばれる正準変換が用いられる。
• この形式的体系は、AKSZ sigma モデルからの既知の現在代数を再現し、$p$-ブレイン sigma モデルに由来するような高次代数的構造を有する新しいクラスの現在代数を生成することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異常項を含む現在代数を、統一的幾何的枠組みから体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 QP構造と導来括弧が、一般次元における現在代数の構成において果たす役割は何か？
• RQ3 Courant 代数的構造などの高次代数的構造が、この形式的体系から自然にどのように現れるか？
• RQ4 AKSZ形式的体系を、標準的 sigma モデルを超えた現在代数理論を記述するために拡張できるか？
• RQ5 この文脈において、一般化されたモーラー＝カルタン方程式 $\partial_K \pi^{IJ} + \pi^{IL}\pi^{JM}H_{LMK} = \pi^{IJ} \pi^{KL} H_{LMN} \pi^{MN}$ の幾何的意味は何か？

主な発見

• 写像空間 $\mathrm{Map}(T[1]\Sigma_n, T^*[n+1]\mathcal{M})$ 上の導来括弧構成により、ねじれたQP構造に由来する異常項を含む現在代数のポアソン代数が得られる。
• ねじれた導来括弧 $\{\{\{J^I, \Theta\}_b, J^J\}_b\}$ は、$\partial_K \pi^{IJ} + \pi^{IL}\pi^{JM}H_{LMK}$ を含む構造定数を持つ、非自明な現在代数を $\mathcal{M}$ 上に生成する。
• 条件 $\frac{\partial\pi^{IJ}}{\partial x^K} + \pi^{IL}\pi^{JM}H_{LMK} = \pi^{IJ}\pi^{KL}H_{LMN}\pi^{MN}$ が満たされることで、$\alpha = \frac{1}{2}\pi^{IJ}p_I p_J$ が正準関数となり、一貫性のあるねじれたポアソン構造が得られる。
• この形式的体系は、$\mathcal{M}$ がリー群で $\pi$ がポアソン2次形式である場合に、$(1+1)$ 次元におけるKac-Moody代数を特別な場合として再現する。
• $p$-ブレイン sigma モデルに由来するような高次代数的構造を有する新しい現在代数が、この枠組みを用いて体系的に構成される。
• $TM \oplus T^*M$ 上のディラック構造は、大きなポアソン括弧の可換部分空間として現れ、一般化された現在代数におけるその役割を確認する。