[論文レビュー] Curvature of closed subsets of Euclidean space and minimal submanifolds of arbitrary codimension

Mario Santilli|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間内の閉集合の主曲率と球面像写像の近似微分の固有値の間の関係を確立し、正の到達距離をもつ集合に対するFedererおよびZaehleの結果を一般化する。任意の閉集合に対して第二基本形式 $ Q_A $ を導入し、その2階近似微分が $ Q_A $ の絶対連続部に一致することを示し、これによりカルデロン–ジグムンド理論がより高い余次元の最小部分多様体へと拡張される。

ABSTRACT

Given an arbitrary closed set A of $\mathbf{R}^{n}$, we establish the relation between the eigenvalues of the approximate differential of the spherical image map of A and the principal curvatures of A introduced by Hug-Last-Weil, thus extending a well known relation for sets of positive reach by Federer and Zaehle. Then we provide for every $ m = 1, \ldots , n-1 $ an integral representation for the support measure $ \mu_{m} $ of A with respect to the m dimensional Hausdoff measure. Moreover a notion of second fundamental form $Q_{A} $ for an arbitrary closed set A is introduced so that the finite principal curvatures of A correspond to the eigenvalues of $ Q_{A} $. We prove that the approximate differential of order 2, introduced in a previous work of the author, equals in a certain sense the absolutely continuous part of $ Q_{A} $, thus providing a natural generalization to higher order differentiability of the classical result of Calderon and Zygmund on the approximate differentiability of functions of bounded variation.

研究の動機と目的

• 正の到達距離をもつ集合から、任意の閉集合 $\mathbf{R}^n$ への曲率と微分構造の古典的関係を拡張すること。
• すべての $ m = 1, \dots, n-1 $ に対して、$ m $ 次元ヒルベルト測度に関する支持測度 $ \mu_m $ の積分表現を提供すること。
• その固有値が有限の主曲率に対応するように、任意の閉集合に対して第二基本形式 $ Q_A $ を定義すること。
• 2階近似微分と $ Q_A $ の絶対連続部との間の関係を確立し、カルデロン–ジグムンドの結果をより高い余次元へ一般化すること。

提案手法

• 任意の閉集合 $ A \subset \mathbf{R}^n $ に対して第二基本形式 $ Q_A $ の概念を導入し、固有値を通じて主曲率と関連付ける。
• 球面像写像を用いて、$ A $ の近似微分と曲率情報の関係を確立し、FedererおよびZaehleの枠組みを一般化する。
• $ m $ 次元ヒルベルト測度を用いて、支持測度 $ \mu_m $ の積分表現を導出する（$ m = 1, \dots, n-1 $）。
• 2階近似微分を定義し、測度論的意味でそれが $ Q_A $ の絶対連続部と一致することを示す。
• 幾何的測度論および近似微分の道具を用いて、有界 variation をもつ関数の古典的結果をより高い余次元の設定へ拡張する。
• スペクトル的性質 $ Q_A $ と曲率不変量との間の対応関係を、滑らかさの欠如下でも確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の閉集合 $ A \subset \mathbf{R}^n $ の主曲率は、微分幾何的対象を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 正の到達距離のケースを超えて、球面像写像の近似微分と閉集合の曲率との関係は何か？
• RQ3 すべての $ m = 1, \dots, n-1 $ に対して、ヒルベルト測度を用いて支持測度 $ \mu_m $ をどのように積分的に表現できるか？
• RQ4 第二基本形式 $ Q_A $ は、滑らかな部分多様体に対する古典的第二基本形式をどのような意味で一般化するか？
• RQ5 2階近似微分は $ Q_A $ の絶対連続部とどのように関係し、幾何的測度論における高階微分可能性にどのような含意をもつのか？

主な発見

• 閉集合 $ A \subset \mathbf{R}^n $ の球面像写像の近似微分の固有値は、Hug, Last, Weil が定義した主曲率に正確に一致する。
• すべての $ m = 1, \dots, n-1 $ に対して、$ m $ 次元ヒルベルト測度を用いて支持測度 $ \mu_m $ の積分表現が確立される。
• 任意の閉集合に対して第二基本形式 $ Q_A $ が定義され、その固有値は $ A $ の有限主曲率を正確に捉えている。
• 2階近似微分は $ Q_A $ の絶対連続部と一致し、カルデロン–ジグムンド定理がより高い余次元の最小部分多様体へ自然に一般化される。
• 正の到達距離や滑らかな部分多様体に対してのみ有効であった古典的曲率および微分可能性の結果が、ユークリッド空間の任意の閉集合へ拡張される。
• この理論は、非滑らかかつ高余次元の対象に適用可能な、一貫性のある枠組みの中で曲率、測度、微分可能性を統合する。