[論文レビュー] Curvature of vector bundles associated to holomorphic fibrations

Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、複素多様体 $X$ がケーラーで、$L$ が (半)正のライン bundle であるとき、コンpact なファイバーを持つ正則ファイブレーション $X \to Y$ の下で、$L \otimes K_{X/Y}$ の $L^2$-セクションからなるベクトルバンドルが、Nakano 意味で (半)正であることを確立する。この結果は、Bergman カーネルの正則性を正則ファイブレーションへ拡張し、$\bar{\partial}$-手法と曲率推定を用いて $L^2$-セクションの重要な拡張定理を証明する。

ABSTRACT

Let $L$ be a (semi)-positive line bundle over a Kahler manifold, $X$, fibered over a complex manifold $Y$. Assuming the fibers are compact and non-singular we prove that the hermitian vector bundle $E$ over $Y$ whose fibers over points $y$ are the spaces of global sections over $X_y$ to $L\gr K_{X/Y}$ endowed with the $L^2$-metric is (semi)-positive in the sense of Nakano. We also discuss various applications, among them a partial result on a conjecture of Griffiths on the positivity of ample bundles. This is a revised and much expanded version of a previous preprint with the title `` Bergman kernels and the curvature of vector bundles''.

研究の動機と目的

• ファイバーがコンパクトな正則ファイブレーション $X \to Y$ で $L$ が (半)正のライン bundle であるとき、直接像バンドル $E = R^0p_*(L \otimes K_{X/Y})$ が Nakano 意味で正であることを確立すること。
• 正則ファイブレーションにおいて、Bergman カーネル関数の下調和性を一般化するため、正の曲率を持つヘルミートベクトルバンドルを構成すること。
• 半正の曲率仮定の下で、ファイバー上での $K_X \otimes L$ のセクションに対する一様な $L^2$ 拡張定理を、ファイバーに依存しない一様な境界を伴って証明すること。
• 特に Griffiths のアンピニス予想に関連して、複素幾何における直接像バンドルの正則性を研究するための幾何的枠組みを提供すること。
• 非自明なファイブレーション上でのベクトルバンドルの定義における技術的課題を、$L^2$-計量と非 Stein 空間上の $\bar{\partial}$-理論を用いて解決すること。

提案手法

• ファイバー $X_y$ 上の正則セクションの $L^2$-空間をファイバーとする、基底 $Y$ 上のヘルミートベクトルバンドル $E$ を構成する。
• ファイバー上での積分によって誘導される $E$ 上の $L^2$-計量を、擬上界関数 $\phi$ に対する重み $e^{-\phi}$ を用いて定義する。
• Nakano 正則性条件における曲率項を制御するため、$\partial\bar{\partial}$-Bochner 公式と $\bar{\partial}$-Neumann 評価を適用する。
• 非 $L^2$-正則性を示す電流 $f = u \wedge [X_0]/(2\pi i)$ を取り扱うために、$\chi_\epsilon(t) = \chi(|t|^2/\epsilon)$ の形の切り捨て関数技術を用いる。
• 付録に記載された Ohsawa-Takegoshi 型拡張定理を用いて、ファイバーから近傍へ正則セクションを持ち上げ、$E$ の局所的自明性を保証する。
• Hodge $*$-作用素と $\bar{\partial}^*$-微積分を用いて、$\int (f, \alpha)$ を $\int |\bar{\partial}^* \alpha|^2 / |t|$ を通じて推定し、解の $L^2$-境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接像バンドル $R^0p_*(L \otimes K_{X/Y})$ が Nakano 意味で正であるための条件は何か？
• RQ2 積分領域から一般のコンパクトファイバーを持つ正則ファイブレーションへ、Bergman カーネル関数の下調和性を拡張できるか？
• RQ3 ファイバー上での $K_X \otimes L$ のセクションに対する一様な $L^2$ 拡張定理は存在するか？ その境界はファイバーに依存しないか？
• RQ4 ファイバーが全純同型でない場合、$L \otimes K_{X/Y}$ の直接像に正則ベクトルバンドル構造をどのように定義できるか？
• RQ5 非 Stein かつケーラーなファイブレーション上での $L^2$-セクションバンドルに、どのような曲率推定が可能か？

主な発見

• ライン bundle $L$ が (半)正で、$X$ がケーラーであるとき、ファイバー $X_y$ 上の $L \otimes K_{X_y}$ の $L^2$-セクションからなるベクトルバンドル $E$ は、Nakano 意味で (半)正である。
• ファイバー $X_t$ 上の Bergman カーネル $K_t$ に対して、関数 $\log K_t(z,z)$ は $(t,z)$ に関して jointly に擬上界関数である。これは積分領域における結果を一般化する。
• $L^2$ 拡張定理が成り立つ：中心ファイバー $X_0$ 上の $K_{X_0} \otimes L$ のセクション $u$ で $\|u\|^2 \leq 1$ を満たすものに対して、$X$ 上の $K_X \otimes L$ のセクション $\tilde{u}$ に拡張可能で、$\|\tilde{u}\|^2 \leq C$ を満たす。ここで $C$ は絶対定数である。
• バンドル $E$ の曲率正則性により、任意の $E^*$ の正則セクション $\xi$ に対して $\log \|\xi\|^2$ が擬上界関数であることが示され、$E^*$ の Griffiths 正則性が確認される。
• 証明は、重み $|t|$ を用いた $\bar{\partial}$-問題に依存し、$\partial\bar{\partial}$-Bochner 公式における成長を制御するため、重み $w = \frac{1}{2\pi} \log(1/|t|^2)$ を用いる。
• 計量が滑らかで、全空間 $X$ がケーラーである場合でも、$X$ が必ずしも射影的または Stein でなくても、この結果は成り立つ。