[論文レビュー] Variation of Bergman kernels of adjoint line bundles

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Nov 14, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、複素多様体の族におけるベルンツィス卜の定理（Bergmanカーネルの多重正則性）を、接続ラインバンドルへ一般化する。Bergmanカーネルの逆を用いて $ K_{X/S} + L $ 上に特異ヘルミート計量 $ h_B $ を構成することで、$ h_B $ が半正の曲率を有することを証明し、非自明なファイブレーションへ結果を拡張するとともに、川松の相対 canonical バンドルの直接像に関する半正性定理の新たな証明を与える。

ABSTRACT

Generalizing the recent result of Berndtsson, we prove the Nakano semipositivity of the direct image of relative pluricanonical systems and the direct image of relative adjoint (singular) hermitian line bundle with semipositive curvature. This gives a new proof of Kawamata's theorem on the semipositivity of the direct image of relative pluricanonical systems.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的ファイブレーションの族におけるベルンツィス卜の結果（Bergmanカーネルの多重正則性）を、接続ラインバンドルへ一般化すること。
• Bergmanカーネル $ K_s $ の逆を用いて定義される $ K_{X/S} + L $ 上の特異ヘルミート計量 $ h_B $ の半正性を確立すること。
• 計量 $ h_B $ の曲率性質を用いて、相対 canonical バンドルの直接像に関する川松の半正性定理の新たな証明を与えること。
• 動的法を用いて一般型多様体の canonical バンドルに対する標準的解析的ザリスキ分解（AZDs）を構成すること。

提案手法

• 特異ヘルミート計量 $ h $ に関する $ K_X + L $ の $ L^2 $-正則切断の点毎ノルムの上界として、Bergmanカーネル $ K(X, K_X + L, h) $ を定義する。
• 各ファイバー $ X_s $ 上で $ h_B|_{X_s} := K_s^{-1} $ と定義することで、$ K_{X/S} + L $ 上に特異ヘルミート計量 $ h_B $ を構成する。
• 非自明なファイブレーション $ f: X o S $ を積ファイブレーション $ X imes riangle $ に埋め込むための厚化構成を用い、擬凸領域におけるベルンツィス卜の定理の適用を可能にする。
• $ L^2 $-拡張定理と解析的ザリスキ分解の技法を用いて、計量 $ h_B $ の特異性と曲率を制御する。
• Bergmanカーネルの $ m $ 乗の極限として動的法により AZDs を構成し、一般型多様体の canonical バンドル上の標準的計量を導く。
• $ h_B $ の半正性を用いて、直接像バンドル $ f_* ext{End}(mK_{X/S}) $ 上のファンクター的かつナカノ半正の計量を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続バンドル $ K_{X_s} + L|_{X_s} $ の Bergmanカーネルは、全空間 $ X $ 上で特異ヘルミート計量を誘導し、その曲率が半正であるように変動するか？
• RQ2 ファイブレーションが局所的に自明でない場合でも、$ h_B|_{X_s} = K_s^{-1} $ で定義される計量 $ h_B $ の曲率が半正であることを示せるか？
• RQ3 この曲率の結果を用いて、川松の相対 canonical バンドルの直接像に関する半正性定理を再証明できるか？
• RQ4 補助的なアファインラインバンドルに依存せずに、一般型多様体の canonical バンドルに対する標準的解析的ザリスキ分解（AZDs）を構成できるか？
• RQ5 直接像バンドル上の得られた計量が、双有理モジュライ写像に関してファンクター的となるか？

主な発見

• Bergmanカーネル $ K_s $ の逆を用いて定義される $ K_{X/S} + L $ 上の特異ヘルミート計量 $ h_B $ は、全空間 $ X $ 上で半正の曲率を有する。これはベルンツィス卜の結果を接続ラインバンドルへ一般化するものである。
• 厚化とスケーリングを用いた $ h_B $ の構成により、非積ファイブレーションに対してもベルンツィス卜の $ L^2 $-拡張および多重正則性定理を適用可能にする。
• $ h_B $ の半正性は、特に $ f_* ext{End}(K_{X/S}) $ に対して、川松の半正性定理の新たな証明を可能にする。
• 一般型多様体に対して、Narashimhan-Simha 計量の $ m $ 乗の極限として、補助的なアファイン除数に依存しない $ K_{X/S} $ の標準的 AZD を構成できる。
• 得られた計量 $ f_* ext{End}(mK_{X/S}) $ は、ファイバーの双有理同値類にのみ依存するファンクター的である。
• Narashimhan-Simha 計量 $ h^{NS}_m $ の半正性が確立され、その曲率 $ heta_{h^{NS}_m} = rac{ ext{dd}^c}{ ext{d}^c} ext{log} K^{NS}_m $ は閉じた正のカレントである。