[論文レビュー] Curvature properties of Vaidya metric

Absos Ali Shaikh, Haradhan Kundu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 46被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、放射する一般相対論的解であるVaidya計量の曲率性質を調査し、$ C\cdot C = \frac{m}{r^3}Q(g,C) $ などの擬対称型曲率条件を満たすことを示している。また、スカラー曲率が消えるリッチ単純な計量であり、リッチテンソルはリーマンに適合する。特殊な場合として、シュワルツシルト計量がDeszcz擬対称であることが示された。

ABSTRACT

As a generalization of the Schwarzschild solution, Vaidya presented a radiating metric to develop a model of the exterior of a star including its radiation field, called Vaidya metric. The present paper deals with the investigation on the curvature properties of Vaidya metric. It is shown that Vaidya metric can be considered as a model of different pseudosymmetric type curvature conditions, namely, $C\cdot C = \frac{m}{r^3} Q(g, C)$, $R\cdot R - Q(S,R) = \frac{m}{r^3} Q(g,C)$ etc. It is also shown that Vaidya metric is Ricci simple, vanishing scalar curvature and its Ricci tensor is Riemann-compatible. As a special case of the main result, we obtain the curvature properties of Schwarzschild metric. Finally, we compare the curvature properties of Vaidya metric with another radiating metric, namely, Ludwig-Edgar pure radiation metric.

研究の動機と目的

• Vaidya計量、すなわちシュワルツシルト解の放射的一般化の曲率構造を調査すること。
• Vaidya計量が擬対称型曲率条件を満たすかどうかを特定すること。
• Vaidya計量の曲率性質をLudwig-Edgar純粋放射計量のそれと比較すること。
• Vaidya計量の特殊な場合としてシュワルツシルト計量の曲率構造を導出すること。

提案手法

• 後退光線座標系におけるVaidya計量のリーマン曲率テンソル、リッチテンソル、Weyl共形テンソル、スカラー曲率の計算。
• テンソル恒等式を用いて、$ C\cdot C = \frac{m}{r^3}Q(g,C) $ や $ R\cdot R - Q(S,R) = \frac{m}{r^3}Q(g,C) $ などの擬対称条件をテストすること。
• 成分ごとの解析によるリッチ単純性およびリッチテンソルのリーマン適合性の検証。
• 記号計算（Wolfram Mathematica）を用いた曲率恒等式の代数的検証。
• テンソル不変量を用いたVaidya計量とLudwig-Edgar純粋放射計量の曲率性質の比較。
• Vaidya計量の定数m極限としてシュワルツシルト計量を導出し、その曲率構造を回復すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Vaidya計量は $ C\cdot C = \frac{m}{r^3}Q(g,C) $ のような擬対称型曲率条件を満たすか？
• RQ2 Vaidya計量の曲率性質、特にリッチ単純性、スカラー曲率、リーマン適合性に関してはどのようなものか？
• RQ3 Vaidya計量の曲率性質はLudwig-Edgar純粋放射計量のそれとどのように異なるか？
• RQ4 シュワルツシルト計量はVaidya計量の特殊な場合として、どのような曲率構造を引き継ぐか？
• RQ5 Vaidya計量は弱いリッチ対称性、半対称性、一般化再帰的曲率形式のいずれかを満たすか？

主な発見

• Vaidya計量は $ C\cdot C = \frac{m}{r^3}Q(g,C) $ を満たしており、Weyl共形テンソルにおいて擬対称であることを示している。
• Vaidya計量はリッチ単純であり、スカラー曲率が消え、リッチテンソルはリーマンに適合する。
• 差分テンソル $ R\cdot R - Q(S,R) $ は $ Q(g,C) $ と線形従属であり、擬対称型条件が確認された。
• Vaidya計量は擬対称でもなく、弱いリッチ対称でもなく、半対称でもないが、共形再帰的である。
• 定数m極限としてのシュワルツシルト計量は、$ R\cdot R = \frac{m}{r^3}Q(g,R) $ を満たし、Deszcz擬対称である。
• Vaidya計量のエネルギー運動量テンソルは非平行であり、純粋放射場に対応するが、Ludwig-Edgar計量のそれは平行である。