[論文レビュー] Curvatures of direct image sheaves of vector bundles and applications I

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、基本的ホッジ理論を用いて、ケーラー層上のベクトルバンドルの直接像層の明示的曲率公式を導出し、ベルンツィェンの結果を単純化・一般化する。主な結果として、族が無限小的に自明で、バンドルが基底に沿ってナカノ負であれば、直接像はナカノ負であることを示す。さらに、直接像の曲率が消えると、族がペア (X,E) の正則自己同型の下で発展することを示す。

ABSTRACT

Let $p:\sXS$ be a proper Kähler fibration and $\sE\sX$ a Hermitian holomorphic vector bundle. As motivated by the work of Berndtsson(\cite{Berndtsson09a}), by using basic Hodge theory, we derive several general curvature formulas for the direct image $p_*(K_{\sX/S} s \sE)$ for general Hermitian holomorphic vector bundle $\sE$ in a simple way. A straightforward application is that, if the family $\sXS$ is infinitesimally trivial and Hermitian vector bundle $\sE$ is Nakano-negative along the base $S$, then the direct image $p_*(K_{\sX/S} s \sE)$ is Nakano-negative. We also use these curvature formulas to study the moduli space of projectively flat vector bundles with positive first Chern classes and obtain that, if the Chern curvature of direct image $p_*(K_{X} s E)$--of a positive projectively flat family $(E,h(t))_{t\in \mathbb D}X$--vanishes, then the curvature forms of this family are connected by holomorphic automorphisms of the pair $(X,E)$.

研究の動機と目的

• ベルンツィェンのラインバンドルの直接像に対する曲率公式を、任意のヘルミート正則ベクトルバンドルへ一般化すること。
• 複素解析的技法の代わりに基本的ホッジ理論を用いて曲率公式の導出を単純化すること。
• 層と層のファイブレーションに関する幾何的仮定の下で、直接像層の正性・負性性を調べること。
• 曲率退化を用いて、正の第一チャーン類を持つ射影的に平坦なベクトルバンドルのモジュライ空間を分析すること。
• 直接像の曲率が消えることと、ペア (X,E) の正則自己同型の存在との間の関係を確立すること。

提案手法

• 各ファイバー上でホッジ理論を用い、$u$ を $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ の局所正則切断とするとき、$\nabla^{ ext{'}\prime}u = dt^i \wedge \nu_i$ および $\nabla^{\prime\prime}u = dt^j \wedge \eta_j$ と分解する。
• $\mathbb{G}^{\prime}$ をグリーン作用素、$\pi_\perp$ を調和形式の直交補空間への射影とするとき、$v_i = -\nabla_X^{\prime} \mathbb{G}^{\prime} \pi_\perp(\nu_i)$ を定義する。
• 曲率公式を導出する：$(\sqrt{-1}\Theta^E u, u) = c_n \int_{X_s} \sqrt{-1}\{\Theta^\mathcal{E}u,u\} - (\Delta_X^{\prime}v_i, v_j) \cdot (\sqrt{-1}dt^i \wedge d\bar{t}^j) + (\eta_i, \eta_j) \cdot (\sqrt{-1}dt^i \wedge d\bar{t}^j)$。
• 関係式 $i_{W_i}u = -v_i$ を用い、$W_i$ をコーディナ・スペンサー類 $\alpha_i$ の双対ベクトル場とする。これにより、曲率と変形理論を結びつける。
• $\mathcal{E}_s$ が射影的に平坦であると仮定し、$\omega_g = \frac{1}{r} \text{Ric}(\det \mathcal{E}_s)$ をファイバー上のバックグラウンドケーラー計量とする。
• 曲率が消える $\Theta^E = 0$ ならば $\frac{\partial v_i}{\partial \bar{t}^j} = 0$ が成り立ち、計量を保存する正則ベクトル場 $V_i = \frac{\partial}{\partial t^i} - W_i$ の存在が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接像層 $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ がナカノ負であるための条件は何か？
• RQ2 直接像層の曲率は、ファイブレーションおよびバンドルの変形理論とどのように関係するか？
• RQ3 直接像の曲率が消えると、どのような幾何的帰結が生じるか？
• RQ4 直接像曲率が消える場合、射影的に平坦なバンドルの族は正則自己同型で接続可能か？
• RQ5 コーディナ・スペンサー類と双対ベクトル場 $W_i$ は、曲率公式とどのように相互作用するか？

主な発見

• 直接像層 $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ の曲率は、バンドルの曲率、$v_i$ の $L^2$ ノルム、$\eta_i$ を含む負の形で与えられ、ホッジ理論によって導出される。
• ファイブレーションが無限小的に自明で、$\mathcal{E}$ が $S$ 沿いにナカノ負であれば、$p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ はナカノ負である。
• $\mathcal{E}_s$ が射影的に平坦で、$\det \mathcal{E}_s$ が正であれば、曲率テンソルは $\sqrt{-1}\Theta^{\mathcal{E}_s} = \omega_g \otimes h^{\mathcal{E}_s}$ を満たす。
• 関係式 $i_{W_i}u = -v_i$ が成り立ち、$W_i$ はコーディナ・スペンサー類 $\alpha_i$ の双対ベクトル場である。これにより、曲率と変形幾何学が結びつく。
• 曲率が消える $\Theta^E = 0$ ならば $\frac{\partial v_i}{\partial \bar{t}^j} = 0$ となり、ベクトル場 $V_i = \frac{\partial}{\partial t^i} - W_i$ は正則的であり、計量を保存する。
• $\Theta^E \equiv 0$ が $\mathbb{D}$ の $0$ の近傍で成り立つならば、$X$ 上に正則ベクトル場 $V$ が存在し、そのフロー $\Phi_t \in \text{Aut}_H(X, \mathbb{E}_0)$ を満たし、$\Phi_t^*\omega_t = \omega_0$ となる。