[論文レビュー] Curved A-infinity algebras and Landau-Ginzburg models

Andrei Căldăraru, Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、ランダウ・ジンブルグ模型に由来する曲がったA∞代数に対して、修正されたホッフシュイルドホモロジーおよびコホモロジー理論——ボレル・ムーリー・ホッフシュイルドホモロジーとコンパクト-suppor tedホッフシュイルドコホモロジー——を導入する。これらの不変量はヤコビ環とその双対を回復し、物理的予測と一致する。また、オルロフのCY/LG対応の背後にあるdgレベルの同値性を確立する。

ABSTRACT

We study the Hochschild homology and cohomology of curved A-infinity algebras that arise in the study of Landau-Ginzburg (LG) models in physics. We show that the ordinary Hochschild homology and cohomology of these algebras vanish. To correct this we introduce modified versions of these theories, Borel-Moore Hochschild homology and compactly supported Hochschild cohomology. For LG models the new invariants yield the answer predicted by physics, shifts of the Jacobian ring. We also study the relationship between graded LG models and the geometry of hypersurfaces. We prove that Orlov's derived equivalence descends from an equivalence at the differential graded level, so in particular the CY/LG correspondence is a dg equivalence. This leads us to study the equivariant Hochschild homology of orbifold LG models. The results we get can be seen as noncommutative analogues of the Lefschetz hyperplane and Griffiths transversality theorems.

研究の動機と目的

• ランダウ・ジンブルグ模型に由来する曲がったA∞代数において、通常のホッフシュイルドホモロジーおよびコホモロジーが意味のある不変量を検出できないという問題を解決すること。
• これらの代数に対して非自明で物理的に意味のある新しい不変量——ボレル・ムーリー・ホッフシュイルドホモロジーとコンパクトサポートドホッフシュイルドコホモロジー——を定義すること。
• これらの新しい不変量が行列因子化の文脈でヤコビ環とその双対を計算することを確立すること。
• オルロフのカルビ・ヤウとランダウ・ジンブルグ圏の間の導来同値性が、微分小カテゴリレベルで準同値に引き上げられることを証明すること。
• 等変ホッフシュイルド不変量を用いて、オルビフォールドLGモデルへと結果を拡張し、古典的代数幾何学の定理の非可換類似を得ること。

提案手法

• 通常の直和の代わりに直積を用いることで、ホッフシュイルドチェインの直接積版としてボレル・ムーリー・ホッフシュイルドホモロジーを導入する。
• 通常のコホモロジーの代わりに直和を用いることで、コンパクトサポートドホッフシュイルドコホモロジーを定義し、曲がった代数と整合性を保つようにする。
• 曲がったA∞代数Aのコンパクト型不変量が、Tw(A)であるそのねじれ複体圏のそれと一致することを証明し、計算を簡略化する。
• セガールの議論を用いて、Tw(B_W)のコンパクト型不変量がB_Wのそれと同型であることを示し、曲がった代数を介した計算を可能にする。
• 行列因子化の導来圏と前三角的圏のdg商の間のdg同値性を確立し、オルロフの導来同値性をdgカテゴリレベルに引き上げる。
• 等変ホッフシュイルドホモロジーを研究することで、オルビフォールドLGモデルに理論を適用し、リーマン超平面定理およびグリフィスの横断性定理の非可換類似を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ通常のホッフシュイルドホモロジーおよびコホモロジーは、ランダウ・ジンブルグ模型における曲がったA∞代数に対して消えてしまうのか？
• RQ2 物理的モデルにおいてヤコビ環とその双対を回復できるように、修正されたホッフシュイルド不変量を定義できるか？
• RQ3 カルビ・ヤウとランダウ・ジンブルグ圏の間のオルロフの導来同値性は、微分小カテゴリレベルで準同値に引き上げられるか？
• RQ4 dg商と半直交分解は、行列因子化圏の構造を理解するために果たす役割は何か？
• RQ5 オルビフォールドLGモデルの等変ホッフシュイルドホモロジーは、古典的代数幾何学の定理の非可換類似をもたらすか？

主な発見

• 曲がったA∞代数の通常のホッフシュイルドホモロジーおよびコホモロジーは、恒等的に消え、物理的モデルには無効である。
• ボレル・ムーリー・ホッフシュイルドホモロジーとコンパクトサポートドホッフシュイルドコホモロジーは非自明な不変量をもたらす：$ H\text{H}^{\text{BM}}_*(B_W) = ω(W)[n] $ および $ H\text{H}^*_c(B_W) = \text{Jac}(W)[0] $ であり、物理的予測と一致する。
• 行列因子化の圏$ \text{Tw}(B_W) $のコンパクト型不変量は、$ B_W $ のそれと同型である。これにより、曲がった代数を介した計算が可能になる。
• 行列因子化の導来圏と超曲面の導来圏の間のオルロフの導来同値性は、dgカテゴリの準同値に引き上げられる。
• オルビフォールドLGモデルの等変ホッフシュイルドホモロジーは、リーマン超平面定理およびグリフィスの横断性定理の非可換類似をもたらす。
• $ \mathscr{D}/\mathscr{E} $ は、$ \mathscr{E} $ が適切であるとき、右直交補空間 $ \mathscr{E}^\perp $ と準同値である。これは、古典的三角的圏の結果をdg設定に一般化する。