[論文レビュー] Notes on A-infinity algebras, A-infinity categories and non-commutative geometry. I

Maxim Kontsevich, Yan Soibelman|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 63

ひとこと要約

この論文は、次数 +1 のホモロジー的ベクトル場を備えた非可換形式的 pointed dg多様体としての A-無限代数の幾何的解釈を確立し、A-無限代数構造と非可換幾何学の間の辞書を提供する。主な貢献は、分布のコールゲブラを介して A-無限代数から非可換形式的 dg多様体を構成することであり、Hochschild コホホロジー、Calabi-Yau 構造、および Hodge から de Rham への退化予想への応用を含む。

ABSTRACT

We develop geometric approach to A-infinity algebras and A-infinity categories based on the notion of formal scheme in the category of graded vector spaces. Geometric approach clarifies several questions, e.g. the notion of homological unit or A-infinity structure on A-infinity functors. We discuss Hochschild complexes of A-infinity algebras from geometric point of view. The paper contains homological versions of the notions of properness and smoothness of projective varieties as well as the non-commutative version of Hodge-to-de Rham degeneration conjecture. We also discuss a generalization of Deligne's conjecture which includes both Hochschild chains and cochains. We conclude the paper with the description of an action of the PROP of singular chains of the topological PROP of 2-dimensional surfaces on the Hochschild chain complex of an A-infinity algebra with the scalar product. This action is essentially equivalent to the structure of 2-dimensional Topological Field Theory associated with a Calabi-Yau category.

研究の動機と目的

• 非可換形式的 dg多様体を用いた A-無限代数の幾何的枠組みの構築。
• A-無限代数をホモロジー的ベクトル場を備えたマークド次数付き多様体として解釈し、代数的構造と幾何的直観を結びつける。
• A-無限代数的構成と非可換幾何学の間の辞書の提供、特にコールゲブラと函手の観点から。
• 今後の中での A-無限代数圏への幾何的視点の拡張の基盤を築く。
• 循環微分形式および導来函手の幾何的解釈を通じて、Hochschild コホホロジーおよびチェーン複体の役割を明確化する。

提案手法

• A-無限代数を、[d,d] = 0 を満たす次数 +1 のホモロジー的ベクトル場 d を備えた形式的マークド次数付き多様体として表現する。
• 分布の双対コールゲブラを用いて、非可換多様体上の形式的べき級数代数をモデル化する。
• 次数付き結合的 Artin 代数上の函手として非可換スキームを定義し、コールゲブラによって表現する。
• 局所ココルポテンツ商を用いた閉埋め込みに沿った完成を用いて、部分スキームの形式的近傍を構成する。
• Yoneda の補題を用いて、Hochschild 係数複体を恒等函手の変形の接空間として記述する。
• シリンダー上の点の配置空間およびオペラッドを用いて、A-無限代数に関する Deligne の予想を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A-無限代数はどのように非可換形式的 dg多様体として幾何学的に解釈できるか？
• RQ2 Hochschild コホホロジーおよびチェーン複体の幾何的意味は、循環微分形式の観点からどうなるか？
• RQ3 A-無限代数上の Calabi-Yau 構造は、Hodge から de Rham への退化予想とどのように関係するか？
• RQ4 弱単位および非単位構造は、A-無限代数の非可換幾何学において果たす役割は何か？
• RQ5 Yoneda 埋め込みおよび導来函手は、A-無限代数函手およびその構造を記述するためにどのように用いられるか？

主な発見

• A-無限代数は、マークド点で消える次数 +1 のホモロジー的ベクトル場 d を備えた非可換形式的マークド dg多様体 (X, pt, d) に対して自然に関連づけられる。
• A-無限代数の Hochschild 係数複体は、自己函手の A-無限代数圏における Ext^•(Id_C, Id_C) に同型であり、Hochschild コホホロジーの幾何的解釈を提供する。
• 非可換滑らかで薄いスキームにおける閉部分スキームの形式的近傍は、局所ココルポテンツな要素のコールゲブラによって表され、古典的完成の一般化である。
• 滑らかな非可換スキームに対しては、部分スキームの形式的近傍自体が滑らかであり、自身の完成と同型である。
• A-無限代数から分布のコールゲブラを構成することは、形式的べき級数代数とコールゲブラの双対性を提供し、函手的記述を可能にする。
• A-無限代数における Hodge から de Rham への退化予想は、Calabi-Yau 構造の存在という観点から定式化され、幾何的および代数的不変量を結びつける。