[論文レビュー] Cut-norms and spectra of matrices

Vladimir Nikiforov|ArXiv.org|Dec 2, 2009

Graph theory and applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Lovászが提示した、グラフ間のスペクトル差をカット距離を用いて評価するという未解決問題を解消する。カットノルム（$ \|\cdot\|_\square$）と$ \|\cdot\|_\boxdot$という2つの行列ノルムを導入・分析し、これらと特異値・固有値の間にタイトな不等式を確立する。2つの行列間のスペクトル差が、それらのカット距離の平方根に比例することを証明し、その結果として、実対称行列のほとんどすべての主小行列が元の行列とスペクトル的に類似しているというスペクトルサンプリング定理を導く。

ABSTRACT

One of the aims of this paper is to solve an open problem of Lovasz about relations between graph spectra and cut-distance. The paper starts with several inequalities between two versions of the cut-norm and the two largest singular values of arbitrary complex matrices, exteding, in particular, the well-known graph-theoretical Expander Mixing Lemma and giving a hitherto unknown converse of it. Next, cut-distance is defined for Hermitian matrices, and, separately, for arbitrary complex matrices; using these extensions, we give upper bounds on the difference of corresponding eigenvalues and singular values of two matrices, thus solving the problem of Lovasz. Finally, we deduce a spectral sampling theorem, which informally states that almost all principal submatrices of a real symmetric matrix are spectrally similar to it.

研究の動機と目的

• カット距離を用いてグラフ間のスペクトル差を評価するというLovászの未解決問題を解決すること。
• カットノルムを用いて、一般の複素行列へとエキスパンダー・ミキシング補題およびその逆を拡張すること。
• ヘルミート行列および一般の複素行列に対するカット距離を定義し、固有値・特異値の差の境界を導出すること。
• 実対称行列のほとんどすべての主小行列が元の行列とスペクトル的に類似していることを示すスペクトルサンプリング定理を確立すること。

提案手法

• カットノルムの2つのバージョンを導入：$\|A\|_\square = \max_{X,Y} \frac{1}{mn}|\Sigma(A[X,Y])|$ および $\|A\|_\boxdot = \max_{X,Y \neq \emptyset} \frac{1}{\sqrt{|X||Y|}} |\Sigma(A[X,Y])|$。
• 行列の次元と$\|A\|_\square$、$\|A\|_\boxdot$を用いて、最大特異値$\sigma_1(A)$のタイトな上界を導出。実または複素行列かによって定数が異なる。
• 特異値の差を$|\sigma_i(X) - \sigma_i(Y)| \leq \sigma_1(X - Y)$という不等式を用いて、差行列のカットノルムと関連付ける。
• スケーリングされた行列に対する正規化されたカット距離$\widehat{\delta}_{\boxminus}(A^{(rk,sk)}, B^{(mk,nk)})$を定義し、それを用いて特異値の差を漸近的に評価。
• コーシーの交差定理と確率的評価を用いて、実対称行列のランダムな主小行列が、高確率で元の行列とスペクトル的に近くにあることを示す。
• 近似論的議論と既知の結果（例：Borgsら）を用いて、ランダムな部分行列におけるカット距離の集中性を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lovászが提起した問い：2つのグラフ間のスペクトル差の最良の上界は、それらのカット距離を用いてどのように得られるか？
• RQ2 エキスパンダー・ミキシング補題およびその逆は、カットノルムを用いて一般の複素行列へと拡張可能か？
• RQ3 ヘルミート行列および一般の複素行列に対して、固有値・特異値の差を評価する意味のあるカット距離の拡張はどのように行えるか？
• RQ4 実対称行列の主小行列は、元の行列とどの程度スペクトル的に類似しているか？
• RQ5 スペクトル的挙動がカット距離によって制御可能であり、サンプリングに基づくスペクトル近似が可能か？

主な発見

• 複素行列に対しては$\sigma_1(A) \leq 4\sqrt{|A|_\infty \|A\|_\square mn}$、実行列に対しては$\sigma_1(A) \leq 2\sqrt{|A|_\infty \|A\|_\square mn}$が成り立ち、定数因子を除いてタイトである。
• 任意の行列$A$に対して$\sigma_1(A) \geq \|A\|_\boxdot$であり、$\sigma_1(A) \geq \|A\|_\square \sqrt{mn}$も成り立つ。これは上界の逆を示す。
• 2つの行列の対応する特異値の差は、$6\sqrt{\widehat{\delta}_{\boxminus}(A^{(rk,sk)}, B^{(mk,nk)})}$で抑えられ、ここで$\widehat{\delta}_{\boxminus}$は正規化されたカット距離である。
• 実対称$n \times n$行列$A$からランダムに選ばれた$k \times k$主小行列$B$に対して、高確率で$\left|\frac{\sigma_i(A)}{\sqrt{n}} - \frac{\sigma_i(B)}{\sqrt{k}}\right| \leq 6\sqrt{\widehat{\delta}_{\boxminus}}$が成り立つ。
• 高確率で$\delta_\square(A,B) \leq 10|A|_\infty (\log_2 k)^{-1/2}$が成り立ち、その結果として固有値に対して$\left|\frac{\mu_i(A)}{n} - \frac{\mu_i(B)}{k}\right| \leq 30|A|_\infty (\log_2 k)^{-1/4}$が得られる。
• スペクトルサンプリング定理が成立する：実対称行列のほとんどすべての主小行列は、元の行列とスペクトル的に類似している。スペクトル差は$O((\log k)^{-1/4})$の速度で減少する。