[論文レビュー] Cycle classes for p-adic étale Tate twists and the image of p-adic regulators

Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、p-進エタールコホロロジーとガロアコホロロジーの有限部の間の関係を確立するために、p-進エタールトーラスのねじれを値とするチャーン類およびサイクル類写像を構成する。モノドロミー・ウェイト予想と十分に大きな p および r の下で、p-進エタールトーラスのフィルトレーションの各項がガロアコホロロジーの有限部と一致することを示し、半安定還元の場合への p-進点予想の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we construct Chern class maps and cycle class maps with values in p-adic étale Tate twists [S2]. We also relate the p-adic étale Tate twists with the finite part of Bloch-Kato. As an application, we prove that the integral part of p-adic regulator maps has values in the finite part of Galois cohomology under certain assumptions.

研究の動機と目的

• 算術的スキームに対して、p-進エタールトーラスを値とするチャーン類およびサイクル類写像を定義すること。
• これらの係数に対してホモトピー不変性が欠落していることを補うために、対数的極構造を備えた変種を導入すること。
• フォンタイン＝ジャンセン予想を用いて、p-進エタールトーラスとガロアコホロロジーの有限部との関係を確立すること。
• p-進点予想を半安定還元の場合に拡張すること。
• 適切な仮定の下で、p-進レギュレーター写像の整数部がガロアコホロロジーの有限部に写ることを確立すること。

提案手法

• p-進エタールトーラスの構成 $\mathfrak{T}_n(r)_X$ を、$\mathbb{Z}/p^n$-層の導来圏において行い、積構造および関手的性質を備える。
• 水平的正則交叉除集合に沿った対数的極構造を備えた p-進エタールトーラスのバージョンを導入し、ホモトピー不変性の p-進類似を回復する。
• 対数的極構造付きバージョンについて、p-進ホモトピー不変性（補題 4.3）および半純粋性（定理 6.5）を証明する。
• Dold-Thom同型と $\mathfrak{T}_n(r)_X$ の積構造を用いて、チャーン類写像 $c_{r,m}$ を定義する。
• 新しい係数系に依存するブロッハの構成に類似して、サイクル類写像 $\mathrm{cl}_X^{r,m}$ を定義する。
• フォンタイン＝ジャンセン予想（日野、加藤、辻によって証明済み）を用いて、$H^i(X, \mathfrak{T}_{\mathbb{Q}_p}(r)_X)$ をガロアコホロロジーと関連付け、フィルトレーション $F^\bullet$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次チャウ群に積構造がない場合に、p-進エタールトーラスを値とするチャーン類およびサイクル類写像をどのように構成できるか？
• RQ2 ホモトピー不変性が欠落しているにもかかわらず、$\mathfrak{T}_n(r)_X$-係数のエタールコホロロジーに対して、p-進ホモトピー不変性の類似を確立できるか？
• RQ3 どの条件下で、graded piece $\mathrm{gr}_F^1 H^i(X, \mathfrak{T}_{\mathbb{Q}_p}(r)_X)$ が有限部 $H^1_f(K, H^{i-1}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_p(r)))$ と一致するか？
• RQ4 半安定還元の場合に、p-進レギュレーター写像の像がガロアコホロロジーの有限部とどのように関係するか？
• RQ5 p-進エタールトーラスコホロロジーが、算術幾何学においてガロアコホロロジーの有限部をどの程度正確に捉えられるか？

主な発見

• Dold-Thom同型と $\mathfrak{T}_n(r)_X$ の積構造を用いて、チャーン類写像 $c_{r,m}: K_m(X) \to H^{2r-m}_{\acute{e}t}(X, \mathfrak{T}_n(r)_X)$ が構成される。
• 対数的極構造付きトーラスの p-進ホモトピー不変性結果を用いて、サイクル類写像 $\mathrm{cl}_X^{r,m}: \mathrm{CH}^r(X,m) \to H^{2r-m}_{\acute{e}t}(X, \mathfrak{T}_n(r)_X)$ が構成される。
• モノドロミー・ウェイト予想および十分に大きな $p$ と $r$ の下で、graded piece $\mathrm{gr}_F^1 H^i(X, \mathfrak{T}_{\mathbb{Q}_p}(r)_X)$ が有限部 $H^1_f(K, H^{i-1}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_p(r)))$ と同型であることが示される。
• 提示された仮定の下で、p-進レギュレーター写像 $\mathrm{reg}_p^{2r-i-1,r}$ の整数部が、ガロアコホロロジーの有限部 $H^1_f(K, H^i(\overline{V}, \mathbb{Q}_p(r)))$ に写る。
• Langer と Nekovář の結果（対数シンタミックコホロロジーとガロアコホロロジーの幾何的部との関係）の、非分岐版が得られる。
• 対数構造と p-進ホッジ理論を用いて定義された写像の整合性により、シンタミック、クリスタリン、ガロアコホロロジーを結ぶ主要な図式の可換性が確立される。