[論文レビュー] Cyclic cohomology for graded $C^{*,r}$-algebras and its pairings with van Daele $K$-theory

Johannes Kellendonk|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Topological Materials and Phenomena参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、グレーディング付き $C^{*,r}$-代数における循環コホモロジー特徴とvan Daele K理論類の torsion 係数ペアリングを導入し、実トポロジカル・インシュレータにおける位相的不変量を検出するための枠組みを提供する。これらのペアリングが位数2の要素（例：Kane-Mele や Fu-Kane-Mele 不変量）に対して非自明であることが示され、非周期的および周期的モデルにおけるバルク-バウンダリー対応の局所的で特徴に基づく定式化が得られる。

ABSTRACT

We consider cycles for graded $C^{*,r}$-algebras (Real $C^{*}$-algebras) which are compatible with the $*$-structure and the real structure. Their characters are cyclic cocycles. We define a Connes type pairing between such characters and elements of the van Daele $K$-groups of the $C^{*,r}$-algebra and its real subalgebra. This pairing vanishes on elements of finite order. We define a second type of pairing between characters and $K$-group elements which is derived from a unital inclusion of $C^{*}$-algebras. It is potentially non-trivial on elements of order two and torsion valued. Such torsion valued pairings yield topological invariants for insulators. The two-dimensional Kane-Mele and the three-dimensional Fu-Kane-Mele strong invariant are special cases of torsion valued pairings. We compute the pairings for a simple class of periodic models and establish structural results for two dimensional aperiodic models with odd time reversal invariance.

研究の動機と目的

• Connes型ペアリングが実 $C^{*,r}$-代数における torsion K理論類に対して消えるという制限を解消すること。
• 時間反転対称性を有するトポロジカル・インシュレータに関連する位数2の要素に対して非自明なまま保たれる、新たな torsion 係数ペアリングの定義。
• ユニタリ埋め込みとクリフォード代数構造を用いて、これらのペアリングの明示的な局所公式の提供。
• 新しいペアリング枠組みを用いて、Kane-Mele および Fu-Kane-Mele 不変量を非周期的モデルへ一般化すること。
• 実 $C^{*,r}$-代数におけるバルク-バウンダリー対応の特徴に基づく定式化を確立すること。

提案手法

• *$-構造および実構造と整合するグレーディング付き $C^{*,r}$-代数のサイクルを定義し、その特徴が循環コサイクルであることを示す。
• そのような特徴とvan Daele K理論類との間でConnes型ペアリングを構成し、有限位数の要素では消えることを示す。
• ユニタリ埋め込み $B \to \tilde{B}$ を通じた第二のペアリングを導入し、特に $B \to B \rtimes \text{Cl}_{1,0}$ および $B \to B \rtimes \text{Cl}_{0,1}$ に注目することで、torsion 不変量に到達する。
• クリフォード代数表現とグレーディング付きテンソル積を用いて、torsion 係数ペアリングの明示的局所公式を導出する。
• K理論上の誘導写像 $\varphi_*$ の核を解析し、$K$-類が追加の対称性（スピンまたはキラル）を有するときを同定する。
• 周期的モデル $M_{2n}(bC) \otimes C(\bbT^2)$ に対してペアリングを計算し、mod 2 で Kane-Mele 不変量と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Connes型ペアリングが実 $C^{*,r}$-代数における torsion K理論類に対して消える場合、位相的不変量を検出できるか？
• RQ2 ユニタリ埋め込み $B \to \tilde{B}$ によって誘導される $\ker \varphi_*$ の構造は何か？ そして物理的対称性とどのように関係するか？
• RQ3 循環コホモロジー特徴とK理論要素に対して、どのように明示的に torsion 係数ペアリングを構成できるか？
• RQ4 Kane-Mele および Fu-Kane-Mele 不変量は、提案されたペアリング枠組みの特殊な場合としてどれほどまでに現れるか？
• RQ5 ペアリングは、特に奇数時間反転対称性を有する2次元非周期的モデルへ拡張可能か？

主な発見

• 循環コサイクルとvan Daele K理論類との間のConnes型ペアリングは、有限位数の要素に対して消えるため、torsion 不変量の検出には限界がある。
• 位数2の $K$-類に対して、torsion 係数ペアリングは非自明であり、ユニタリ埋め込み $B \to B \rtimes \text{Cl}_{1,0}$ を通じて明示的に計算可能である。
• Kane-Mele 不変量のペアリングは、正確に $\Delta^{j}_{\text{ch}_2 \# \kappa_1}([x_{z_0,z_1}])$ に一致し、$[\frac{1}{2},1] \times \bbT^2$ 上の積分の差分として、mod 2 で計算される。
• 周期的モデルでは、ペアリングが標準的な次数公式と一致し、物理学的既存結果と整合することが確認された。
• 2次元非周期的モデルで奇数時間反転対称性を有する場合、$K$-類が $\ker \varphi_*$ に属するための必要十分条件は、ハミルトニアンが虚数的キラル対称性を有することである。
• 本フレームワークにより、Kane-Mele 不変量が非周期的系へ一般化され、局所的で特徴に基づく位相的不変量が得られた。