[論文レビュー] On the C*-algebraic approach to topological phases for insulators

Johannes Kellendonk|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、観測代数をホモトピー分類のための位相空間として扱うことで、絶縁体におけるトポロジカル相を分類するC*-代数的枠組みを提案する。van DaeleのK理論の定式化を用い、順序2の複素線形自己同型（例：チャiral対称性）および反線形写像（例：時間反転、粒子-hole対称性）として符号化された対称性を統合することで、強い不変量が得られ、Kitaevの周期表と一致し、不規則系や準周期系へ一般化可能である。

ABSTRACT

The notion of a topological phase of an insulator is based on the concept of homotopy between Hamiltonians. It therefore depends on the choice of a topological space to which the Hamiltonians belong. We advocate that this space should be the $C^*$-algebra of observables. We relate the symmetries of insulators to graded real structures on the observable algebra and classify the topological phases using van Daele's formulation of $K$-theory. This is related but not identical to Thiang's recent approach to classify topological phases by $K$-groups in Karoubi's formulation.

研究の動機と目的

• 観測代数のC*-代数を基本位相空間として用いることで、絶縁体におけるトポロジカル相を統一的に分類する枠組みを確立すること。
• 従来のアプローチ（例：ベクトル束分類、ノルム/弱/コンパクト開位相）の限界を克服し、K理論およびインデックス理論的構造を保つC*-位相を用いること。
• 時間反転、粒子-hole、チャiral対称性などの対称性を、C*-代数上での自己同型または反線形写像として記述し、トポロジカル相のファンクター的分類を可能にすること。
• 標準的な波数空間ファイブレーションが失敗する不規則系や準周期系に対しても、観測代数の代数的構造に依拠することで分類を一般化すること。
• 反復的クロスプロダクトとK理論ファンクターを用いた体系的な強い不変量の計算により、Kitaevの周期表を回復すること。

提案手法

• 絶縁体をC*-代数 $ A $ の自己随伴かつ可逆な元として定義し、スペクトルギャップをゼロに固定し、集合 $ A^{s.a.}_{inv} $ を形成する。
• 経路連結成分 $ \pi_0(A^{s.a.}_{inv}) $ を用いてトポロジカル相を分類し、van DaeleのK理論の定式化により $ A $ の $ K_0 $-群へ写像する。
• グレーデッド実構造を用いて対称性を実装する：順序2の複素線形自己同型（例：チャiral対称性）および反線形写像（例：時間反転、粒子-hole対称性）。
• クロスプロダクト構成 $ A = C(X) \rtimes_\alpha \mathbb{Z}^d $ を用いる。ここで $ X $ は有限局所複雑性を持つクライスタルまたは不規則系の配置空間のハルである。
• $ d $ 重のクロスプロダクトに対してK理論の六項完全列を反復的に適用し、強い不変量を $ I_\alpha C(X, K_{i-d}(\mathbb{F})) $ の元として計算する。ここで $ \mathbb{F} = \mathbb{C} $ または $ \mathbb{R} $ である。
• 最終的な強い不変量を $ \tilde{\delta}[h] \in KO_{i-d}(\mathbb{R}) $ を用いてKitaevの周期表と関係づけ、ボット写像がK群の再構成に用いる右逆写像を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則系において波数空間ファイブレーションが破綻する状況下でも有効な、絶縁体のトポロジカル相の分類法は何か？
• RQ2 トポロジカル絶縁体の文脈において、時間反転、粒子-hole、チャiral対称性などの対称性の正しいC*-代数的定式化は何か？
• RQ3 van DaeleのK理論の定式化が、ベクトル束の図像を超えてトポロジカル相を分類する自然な枠組みをどのように提供するか？
• RQ4 反復的クロスプロダクトによる計算で得られる強い不変量とKitaevの周期表との正確な関係は何か？
• RQ5 標準的なトポロジカル絶縁体の周期表は、実構造を備えた $ C_0(\mathbb{R}^d, M_n(\mathbb{C})) $ を用いた連続モデルから回復可能か？

主な発見

• 絶縁体のトポロジカル相は、van DaeleのK理論の定式化を用いることで $ \pi_0(A^{s.a.}_{inv}) $ により分類され、これはC*-代数 $ A $ の $ K_0 $-群と同型である。
• ハル $ X $ において稠密な軌道を持つ系では、強い不変量の群は $ I = I\_\alpha C(X, K_{i-d}(\mathbb{F})) \cong KO_{i-d}(\mathbb{R}) $ であり、Kitaevの周期表と一致する。
• Kane-Meleモデル（2次元、奇数の時間反転対称性、粒子-hole対称性なし）では、強い不変量の群は $ KO_2(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}_2 $ であり、生成子は $ S^2 $ 上のボット射影に対応する。
• 周期的バンドモデルでは、クロスプロダクト $ C(\hat{\mathbb{Z}}^d) \rtimes \mathbb{Z}^d $ のK理論が $ d $-次元球面のK群を回復し、Kitaevの $ \pi_0(R_{i-d}) $ 不変量と一致する。
• 実構造を備えた連続モデル $ A = M_n(\mathbb{C}) \rtimes_{\mathrm{id}} \mathbb{R}^d $ に対して $ KO_i(A^\mathfrak{f}) \cong KO_{i-d}(\mathbb{R}) $ が成り立ち、連続極限における周期表の確認がなされる。
• 六項完全列における商写像 $ \tilde{\delta} $ はボット写像によって右逆写像を備え、強い不変量からK群の完全な再構成が可能である。