[論文レビュー] $d_p$ convergence and $\epsilon$-regularity theorems for entropy and scalar curvature lower bounds

Man-Chun Lee, Aaron Naber+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ほぼ非負のスカラー曲率とエントロピーをもつリーマン多様体の収束に関する新しい概念、$d_p$ 収束を導入する。この枠組みにおいて、このような空間はユークリッド空間に収束することを示している。$\epsilon$-正則性定理とコンパクトネス結果を確立し、距離関数の病理的挙動のため、従来の Gromov-Hausdorff または Intrinsic Flat 収束の概念が失敗することを示している。一方、$d_p$ 収束は弱い曲率下界のもとで解析と幾何を保存する。

ABSTRACT

Consider a sequence of Riemannian manifolds $(M^n_i,g_i)$ with scalar curvatures and entropies bounded below by small constants $R_i,\mu_i \geq-\epsilon_i$. The goal of this paper is to understand notions of convergence and the structure of limits for such spaces. Even in the seemingly rigid case $\epsilon_i o 0$, we construct examples showing that such a sequence may converge wildly in the Gromov-Hausdorff or Intrinsic Flat sense. On the other hand, we will see that these classical notions of convergence are the incorrect ones to consider. Indeed, even a metric space is the wrong underlying category to be working on. Instead, we introduce $d_p$ convergence, a weaker notion of convergence that is valid for a class of rectifiable Riemannian spaces. These rectifiable spaces have well-behaved topology, measure theory, and analysis, though potentially there will be no reasonably associated distance function. Under the $d_p$ notion of closeness, a space with almost nonnegative scalar curvature and small entropy bounds must in fact be close to Euclidean space; this will constitute our $\epsilon$-regularity theorem. More generally, we have a compactness theorem saying that sequences of Riemannian manifolds $(M^n_i,g_i)$ with small lower scalar curvature and entropy bounds $R_i,\mu_i \geq -\epsilon$ must $d_p$ converge to such a rectifiable Riemannian space $X$. Comparing to the first paragraph, the distance functions of $M_i$ may be degenerating, even though in a well-defined sense the analysis cannot be. Applications for manifolds with small scalar and entropy lower bounds include an $L^\infty$-Sobolev embedding and apriori $L^p$ scalar curvature bounds for $p<1$.

研究の動機と目的

• 従来の収束概念（Gromov-Hausdorff、Intrinsic Flat）が、ほぼ非負のスカラー曲率とエントロピーをもつ多様体の列に対して失敗することを解決すること。
• 距離関数がこのような曲率下界のもとで劣化するという問題を解消することにより、標準的な幾何的収束が崩れる理由を明らかにすること。
• 関数の $W^{1,\infty}$-制御を $W^{1,p}$-制御に置き換えることで、解析と幾何を保存する新しい収束枠組み、$d_p$ 収束を導入すること。
• $d_p$ 収束のもとで、スカラー曲率とエントロピーの下界が小さい多様体はユークリッド空間に近くなることを示す $\epsilon$-正則性定理を確立すること。
• スカラー曲率とエントロピーの下界が小さい列が $d_p$ 収束により、可解なリーマン多様体空間に収束することを示すグローバルコンパクトネス定理を証明すること。

提案手法

• リーマン多様体上の $d_p$ 距離を、$p \in (n, \infty]$ に対して $d_p(x,y) = \sup \left\{ |f(x) - f(y)| : \int_M |\nabla f|^p \, d\text{vol}_g \leq 1 \right\}$ として定義する。$p \to \infty$ の極限で標準的な距離関数が回復される。
• 可解なリーマン多様体空間を、$d_p$ 収束の極限カテゴリとして導入する。これは、標準的な距離関数が存在しない可能性があるが、適切に定義された位相、測度論、解析的理論を備えている。
• $d_p$ 収束のもとで、スカラー曲率とエントロピーが $-\epsilon_i$ 以上で有界な多様体は、$\epsilon_i \to 0$ のときユークリッド空間に収束することを示し、$\epsilon$-正則性定理を確立する。
• 計量係数の重み付き $L^p$ 評価と、積分的リッチ／スカラー曲率の下界を用いて、空間の幾何を制御する。
• モーザー反復法と最大原理の技法を用いて、エントロピー汎関数の最小化関数の成長・減衰を制御する。
• スケーリングされた計量と微分同相写像を用いた吹き上げ議論により、極限挙動を分析し、非ユークリッド的極限が仮定された場合に、エントロピーがゼロから離れて保たれないことから矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov-Hausdorff や Intrinsic Flat 収束といった従来の収束概念は、ほぼ非負のスカラー曲率とエントロピーをもつ多様体の正しい幾何的極限を捉えることができるか？
• RQ2 標準的な距離関数に基づく収束概念が、この文脈でなぜ失敗するのか、極限空間に生じる構造的問題は何か？
• RQ3 スカラー曲率とエントロピーの下界のもとで、解析と幾何を保存する新しい収束枠組みは存在するか？
• RQ4 この設定において $\epsilon$-正則性定理は成り立つか？ すなわち、ほぼ非負の曲率がユークリッド空間に近いことを保証するか？
• RQ5 スカラー曲率とエントロピーの下界が小さい多様体の列の正しい極限カテゴリは何か？

主な発見

• $p \in (n, \infty]$ に対して、$d_p$ 距離関数は適切に定義され、真の距離関数をなす。$d_\infty$ は標準的な測地線距離を回復する。
• 従来の収束概念は失敗する：スカラー曲率とエントロピーが $-\epsilon_i$ 以上で有界な列は、次元や位相が異なる空間、あるいはフィンスラー型幾何に至る可能性がある。
• $d_p$ 収束のもとでは、スカラー曲率とエントロピー $\geq -\epsilon_i$ である任意の多様体列は、$\epsilon_i \to 0$ のときユークリッド空間に $d_p$-収束する。これは強い $\epsilon$-正則性定理を確立する。
• $d_p$ 収束の極限空間は、標準的な距離関数がなくても、$W^{1,p}$-理論、勾配、絶対連続曲線が適切に定義された可解なリーマン多様体空間である。
• エントロピー汎関数は極限でゼロから離れて保たれない。$\mu(\tau_i^{-1}g_i,1) = -\eta < 0$ を仮定すると、コンパクトネスと最小化関数の $L^p$ 収束から矛盾が生じる。
• スケーリングされたエントロピー汎関数の最小化関数の極限は $W^{1,2}(\mathbb{R}^{n+1})$ に属し、Euler-Lagrange 方程式を満たす必要がある。これにより $\mu_\infty = 0$ が導かれるが、これは $\mu_i = -\eta$ であることに矛盾する。