[論文レビュー] Damage processes in thermoviscoelastic materials with damage-dependent thermal expansion coefficients

Christian Heinemann, Elisabetta Rocca|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、損傷に依存する熱膨張係数を有する非線形PDE系の弱解のグローバル存在を確立する。ρ(χ)による損傷、温度、変位の新しい結合を導入することで、エンタルピー変換、切り捨て、コンパクト性の議論を用いて、非局所的損傷正則化とレート独立損傷進化を伴う熱力学的に整合した枠組み内で、解析的困難を克服し、収束性と存在性を証明する。

ABSTRACT

In this paper we prove existence of global in time weak solutions for a highly nonlinear PDE system arising in the context of damage phenomena in thermoviscoelastic materials. The main novelty of the present contribution with respect to the ones already present in the literature consists in the possibility of taking into account a damage-dependent thermal expansion coefficient. This term implies the presence of nonlinear couplings in the PDE system, which make the analysis more challenging.

研究の動機と目的

• 損傷に依存する熱膨張係数を有する熱粘弾性損傷系のグローバル弱解の存在を確立すること。
• エネルギー方程式に現れるρ′(χ)θ div(u)χtおよびρ(χ)θ div(ut)の項に起因する非線形結合に起因する解析的困難に対処すること。
• 非局所的損傷効果をp-ラプラシアン正則化（p > d）を用いて組み込むことで、損傷変数χの十分な正則性を保証すること。
• 損傷の不可逆性と物理的制約（χ ∈ [0,1]）を、劣微分包含および切り捨て技術を用いて弱形式に組み込むこと。
• 物理的整合性を保ちつつ、数学的取り扱いやすさを確保するため、エンタルピー変換と微小摂動仮定を用いて、熱力学的に整合したモデル化を拡張すること。

提案手法

• 温度（θ）、変位（u）、損傷（χ）のための非線形結合を有する連立PDE系を定式化し、ρ(χ)およびその微分に起因する非線形性を扱う。
• 比熱c(θ)の原始関数を用いたエンタルピー変換を適用し、エネルギー方程式の簡略化とコンパクト性の議論の可能化を図る。
• 非線形性および損傷の不可逆性を扱うために、M > 0の切り捨て系を導入し、損傷進化および熱フラックス項における切り捨てを施す。
• ガラーキン近似と時間離散化を用いて、弱形式を満たす近似解を構成する。
• エネルギー法およびホルダーの不等式を用いて、Sobolev埋め込みおよび係数の成長条件を活用して、事前推定を確立する。
• アウビン＝リオンズおよび弱コンパクト性の定理を用い、M → ∞の極限に移行し、列(uM, wM, χM)の収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 損傷に依存する熱膨張係数を有する熱粘弾性損傷系に対して、グローバル弱解を証明できるか？
• RQ2 エネルギー方程式における非線形結合項ρ′(χ)θ div(u)χtおよびρ(χ)θ div(ut)は、どのように解析的に取り扱えるか？
• RQ3 p-ラプラシアン正則化（p > d）は、損傷変数χの十分な正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 損傷の不可逆性（χt ≤ 0）および物理的境界（χ ∈ [0,1]）は、弱形式においてどのように強制されるか？
• RQ5 エンタルピー変換および切り捨て技術を用いて、物理的整合性を保ちつつ、数学的に取り扱いやすい形にシステムを変換できるか？

主な発見

• 著者らは、ρ(χ)-依存する熱膨張係数を有する熱粘弾性損傷系のグローバル弱解の存在を証明する。
• 主な新規性は、ρ′(χ)θ div(u)χtに起因する非線形結合にあり、解析を複雑にするが、慎重な推定と切り捨てにより処理可能である。
• p-ラプラシアン項（p > d）は、損傷進化方程式における二次項ε(u) : ε(u)の制御に必要なχの十分な正則性を保証する。
• エンタルピー変換により、エネルギー方程式における時間微分項の簡略化が可能となり、コンパクト性手法の適用が可能になる。
• 切り捨て系（M ↑ ∞）の収束性は、L²(0,T; H¹)およびL∞(0,T; W¹,p)などの適切な関数空間における弱-star収束および強収束を用いて確立される。
• 極限は、損傷不可逆性の変分不等式および部分エネルギー不等式を含む、元のシステムの弱形式を満たす。