[論文レビュー] "Entropic" solutions to a thermodynamically consistent PDE system for phase transitions and damage

Elisabetta Rocca, Riccarda Rossi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、熱力学的に整合性のあるPDE系を用いた非等温相転移および熱 visco 弾性材料における損傷をモデル化するための、時間全域で有効な「エントロピー的」弱解の存在を確立する。温度方程式を内部エネルギーの点でのバランスに代えてエントロピー不等式と全エネルギー保存則に基づいて定式化することで、小さな摂動仮定を回避し、エネルギー方程式における2次速度項の課題を克服した。これにより、初期データの大きさに制限がない状態でも、特化した時間離散化スキームと精密な事前推定を用いて、解の存在を保証する結果が得られた。

ABSTRACT

In this paper we analyze a PDE system modelling (non-isothermal) phase transitions and damage phenomena in thermoviscoelastic materials. The model is thermodynamically consistent: in particular, no small perturbation assumption is adopted, which results in the presence of quadratic terms on the right-hand side of the temperature equation, only estimated in L1. The whole system has a highly nonlinear character. We address the existence of a weak notion of solution, referred to as entropic, where the temperature equation is formulated with the aid of an entropy inequality, and of a total energy inequality. This solvability concept reflects the basic principles of thermomechanics as well as the thermodynamical consistency of the model. It allows us to obtain global-in-time existence theorems without imposing any restriction on the size of the initial data. We prove our results by passing to the limit in a time discretization scheme, carefully tailored to the nonlinear features of the PDE system (with its entropic formulation), and of the a priori estimates performed on it. Our time-discrete analysis could be useful towards the numerical study of this model.

研究の動機と目的

• 非等温相転移および熱 visco 弾性材料における損傷をモデル化する熱力学的に整合性のあるPDE系に対する弱解の存在を確立すること。
• 温度方程式における2次項と系の高い非線形性に起因する数学的課題に対処すること。
• 小さな摂動仮定を回避する「エントロピー的」解という解の概念を考案し、熱力学的原則を反映させること。
• 初期データの大きさに制限がない時間全域での解の存在を、新規の時間離散化スキームを用いて証明すること。

提案手法

• 内部エネルギーの点でのバランスを置き換え、エントロピー不等式と全エネルギー不等式に基づく弱解の概念を導入する。
• 対数的テスト関数とエントロピーに基づく不等式を用いて、2次項を扱うために温度方程式を定式化する。
• 特に多値型の項と滑らかでないエネルギー寄与を考慮し、系の非線形構造に適合した時間離散化スキームを採用する。
• 離散スキームに対して精密な事前推定を実施し、特にエントロピーとエネルギーの境界に注目して2次項を制御する。
• 一般化されたヘリーの定理とヤング測度論を用いて、時間離散スキームにおける極限への移行を実現する。
• 有界 Variation と反射的Banach空間における弱収束に基づくコンパクト性の議論を用いて、極限関数を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 温度方程式に2次項を含む熱力学的に整合性のあるPDE系に対して、時間全域で有効な弱解を確立できるか？
• RQ2 強い非線形性が存在する状況において、小さな摂動仮定の欠如をどのように解消できるか？
• RQ3 相転移と損傷を含む系において、熱力学的原則を最もよく反映する弱解の概念は何か？
• RQ4 系の非線形構造を保存するように設計された時間離散化スキームを構築できるか？
• RQ5 極めて非線形性の強い系において、初期データの大きさに制限がない解の存在を証明できるか？

主な発見

• 本稿は、小さな摂動仮定を必要とせず、時間全域で有効な「エントロピー的」弱解の存在を、完全なPDE系に対して証明した。
• エントロピー不等式と全エネルギー不等式に基づく解の概念により、熱力学的整合性が保証され、温度方程式における2次項の制御が可能になった。
• 時間離散化スキームは、特に多値型の超微分項と滑らかでないエネルギー寄与を扱うために、系の非線形構造に適合して設計された。
• 2次項に関してはL1空間でのみ事前推定が得られたが、エントロピー的定式化のおかげで十分であることが示された。
• 極限関数は連続的設定におけるエントロピー不等式とエネルギー不等式を満たし、解の概念の妥当性が確認された。
• 本手法により、初期データの大きさに制限がない解の存在が保証され、従来の手法に比べて顕著な前進を遂げた。