[論文レビュー] Data completion and stochastic algorithms for PDE inversion problems with many measurements

Farbod Roosta-Khorasani, Kees van den Doel+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非共有受信点を有するPDE逆問題のデータを勾配またはラプラシアン正則化を用いて補完する手法を提案する。この手法により、同時発信源（SS）アルゴリズムを用いた効率的な確率的逆問題が可能となり、少なくとも2倍の高速化が達成され、中程度のデータ補完（最大60–70%まで）において高品質な再構成が得られる。解の滑らかさに関する事前知識を組み込むことで、精度を保持する。

ABSTRACT

Inverse problems involving systems of partial differential equations (PDEs) with many measurements or experiments can be very expensive to solve numerically. In a recent paper we examined dimensionality reduction methods, both stochastic and deterministic, to reduce this computational burden, assuming that all experiments share the same set of receivers. In the present article we consider the more general and practically important case where receivers are not shared across experiments. We propose a data completion approach to alleviate this problem. This is done by means of an approximation using an appropriately restricted gradient or Laplacian regularization, extending existing data for each experiment to the union of all receiver locations. Results using the method of simultaneous sources (SS) with the completed data are then compared to those obtained by a more general but slower random subset (RS) method which requires no modifications.

研究の動機と目的

• 多数の実験と非共有受信点を有するPDEに基づく逆問題における高い計算コストに対処すること。
• 同時に発信源（SS）のような高速な確率的アルゴリズムを効率的に使用できるようにするデータ補完技術を開発すること。SS法は共有受信点を必要とする。
• Sobolev空間理論を用いて、解の滑らかさに関する事前知識をデータ補完に組み込むこと。
• 中程度のデータ補完（最大60–70%の欠損データ）においても、再構成精度を維持しながら高速化を実現すること。
• 物理的制約を補完プロセスに埋め込むことで、単純な補間とは対照的に理論的裏付けがあり、簡潔な代替手法を提供すること。

提案手法

• データ補完は、勾配またはラプラシアン正則化を用いた正則化最小化問題を解くことで実行され、欠損データをすべての受信点の和集合にまで拡張する。
• 正則化はSobolev空間理論に基づいて導出され、補完されたデータがPDE解の期待される滑らかさおよび境界挙動を尊重することを保証する。
• 補完されたデータにより、1つの乱数重みベクトルあたり1回のPDE解法で済む同時発信源（SS）法の使用が可能となり、計算コストを著しく削減する。
• 反復的ガウス・ニュートン法またはL-BFGSフレームワーク内に本手法を適用し、実験のランダムサンプリングを用いた誤差関数の確率的推定器を用いる。
• 補完されたデータにより、確率的近似におけるノイズとバイアスが低減するため、停止基準を緩めることができる。
• 本手法は、データ補完を要しないが、遅く非効率なランダムサブセット（RS）法と対比される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化によるデータ補完は、非共有受信点を有するPDEに基づく逆問題において、効率的な確率的逆問題を可能にするか？
• RQ2 データ補完における勾配またはラプラシアン正則化の使用が、再構成精度と計算速度に与える影響は何か？
• RQ3 本手法が堅牢かつ正確に機能するデータ補完の最大レベル（例：60–70%）は何か？
• RQ4 補完済みデータを用いたSS法の性能は、より一般的ではあるが遅いRS法と比較して、速度と精度の面でどのように異なるか？
• RQ5 正則化を解の性質に適応させることで、本データ補完手法を他のPDE逆問題に拡張可能か？

主な発見

• 本データ補完手法により、非共有受信点を有する問題において高速な同時発信源（SS）アルゴリズムの使用が可能となり、最小でも2倍の高速化が達成された。
• 中程度のデータ補完（最大60–70%）において、本手法は、より高価なランダムサブセット（RS）法と同等の優れた再構成を生成した。
• 本手法は平均してRS法を2倍以上に上回り、一部のケースでは顕著に優れた性能を示した。
• 正則化なしの盲目的な補間や近似は、本稿で提案された正則化付きデータ補完手法よりも劣った再構成をもたらした。
• 重度のデータ補完（例：80%以上欠損）では、バイアスが観測データを上回る可能性があるため、本手法は推奨されない。
• 適応的内部反復や適応的グリッド化などの他の効率化技術と組み合わせられる可能性を示しており、さらなる性能向上が期待できる。