[論文レビュー] Data recovery from corrupted observations via l1 minimization

Dongcai Su|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、部分フーリエセンシング行列を用いて、破損した線形測定値からスパース信号を回復するためのl1最小化フレームワークを提案する。理論的に、信号が十分にスパースであれば、測定値のほぼ100％が任意に破損している場合でも正確な回復が可能であることを示しており、先行研究に比べてln(n)要因の改善を得た、漸近的に最適なスパース性バインドを達成している。

ABSTRACT

This paper studies the problem of recovering a signal vector and the corrupted noise vector from a collection of corrupted linear measurements through the solution of a l1 minimization, where the sensing matrix is a partial Fourier matrix whose rows are selected randomly and uniformly from rows of a full Fourier matrix. After choosing the parameter in the l1 minimization appropriately, we show that the recovery can be successful even when a constant fraction of the measurements are arbitrarily corrupted, moreover, the proportion of corrupted measurement can grows arbitrarily close to 1, provided that the signal vector is sparse enough. The upper-bound on the sparsity of the signal vector required in this paper is asymptotically optimal and is better than those achieved by recent literatures [1, 2] by a ln(n) factor. Furthermore, the assumptions we impose on the signal vector and the corrupted noise vector are loosest comparing to the existing literatures [1-3], which lenders our recovery guarantees are more applicable. Extensive numerical experiments based on synthesis as well as real world data are presented to verify the conclusion of the proposed theorem and to demonstrate the potential of the l1 minimization framework.

研究の動機と目的

• 大きな割合の線形測定値が任意に破損している状況下でスパース信号を回復するという課題に対処すること。
• 深刻な測定破損にもかかわらず高い正確性を維持するロバストな回復フレームワークを構築すること。
• 圧縮センシングにおける信号のスパース性と破損耐性に関する既存の理論的バインドを改善すること。
• 信号およびノイズの構造に関する仮定を緩和し、実世界のデータへの適用可能性を高めること。

提案手法

• 信号ベクトルと破損したノイズベクトルの両方のl1最小化として回復問題を定式化する。
• 全フーリエ行列から一様にランダムに選択された行を用いた部分フーリエ行列をセンシング行列として使用する。
• 信号とノイズの回復をバランスさせるl1最小化におけるパラメータを導入し、ロバスト性を最適化する。
• 確率的行列理論およびスパース回復の原則に基づいた理論的分析を活用し、回復保証を導出する。
• 測定値の破損割合が1に近づく場合でも正確な回復が可能となる条件を確立する。
• 合成データおよび実世界データを用いた広範な数値実験により、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 l1最小化は、測定値の一定割合が任意に破損している場合でもスパース信号を回復できるか？
• RQ2 提案フレームワーク下で、正確な信号回復を可能にする破損測定値の最大割合は何か？
• RQ3 信号ベクトルの必要スパース性は問題サイズにどのように依存し、それは漸近的に最適か？
• RQ4 本研究の信号およびノイズベクトルに関する仮定は、先行研究と比較してどのように異なり、実用的適用性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 本手法は、合成ベンチマークと比較して、実世界データにおいてどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 信号が十分にスパースであれば、破損測定値の割合が1に近づく場合でも、本手法により正確な信号回復が可能である。
• 回復に必要な信号スパース性の上界は漸近的に最適であり、先行研究に比べてln(n)要因の改善がなされている。
• 既存の文献と比較して、信号およびノイズベクトルに関する仮定が最も緩い条件下でも理論的保証が有効である。
• 数値実験により、合成データおよび実世界データの両方で理論的予測が確認され、ロバストな性能が示された。
• 極端な破損レベル下でも、本手法は回復精度を高く維持しており、耐性およびスパース性要件の観点で、先行手法を上回っている。