[論文レビュー] Davenport constant of the multiplicative semigroup of the quotient ring $\frac{\F_p[x]}{\langle f(x) angle}$

Haoli Wang, Lizhen Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2014

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ の乗法的半群のDavenport定数を調査し、$p > 2$ かつ $f(x)$ が平方因子を持たず、互いに非関連の既約因子に分解可能な場合、その半群のDavenport定数がその単元群のそれと等しいことを証明する。この結果は、$f(x) = (x+1)^2$ についての検証を通じて非平方因子の場合へと拡張され、すべてのケースで等式が成り立つというより広範な予想を支持する。

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a finite commutative semigroup. The Davenport constant of $\mathcal{S}$, denoted $D(\mathcal{S})$, is defined to be the least positive integer $d$ such that every sequence $T$ of elements in $\mathcal{S}$ of length at least $d$ contains a subsequence $T'$ with the sum of all terms from $T'$ equaling the sum of all terms from $T$. Let $\F_p[x]$ be a polynomial ring in one variable over the prime field $\F_p$, and let $f(x)\in \F_p[x]$. In this paper, we made a study of the Davenport constant of the multiplicative semigroup of the quotient ring $\frac{\F_p[x]}{\langle f(x) angle}$. Among other results, we mainly prove that, for any prime $p>2$ and any polynomial $f(x)\in \F_p[x]$ which can be factorized into several pairwise non-associted irreducible polynomials in $\F_p[x]$, then $$D(\mathcal{S}_{f(x)}^p)=D(U(\mathcal{S}_{f(x)}^p)),$$ where $\mathcal{S}_{f(x)}^p$ denotes the multiplicative semigroup of the quotient ring $\frac{\F_p[x]}{\langle f(x) angle}$ and $U(\mathcal{S}_{f(x)}^p)$ denotes the group of units of the semigroup $\mathcal{S}_{f(x)}^p$.

研究の動機と目的

• 素数 $p > 2$ に対して、$\mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ の乗法的半群のDavenport定数を特定すること。
• 特定の因数分解条件のもとで、半群のDavenport定数がその単元群のそれと等しくなるかどうかを調査すること。
• すべての非定数 $f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ に対して $D(\mathcal{S}_{f(x)}^p) = D(U(\mathcal{S}_{f(x)}^p))$ が成り立つという予想を検証すること。
• 有限アーベル群におけるDavenport定数の既知の結果を、多項式剰余環から生じる有限可換半群へと拡張すること。

提案手法

• 有限可換半群に対する一般化されたDavenport定数の定義を用い、部分列の和が元の総和と等しくなるような真部分列が存在する場合に、列が可約であると定義する。
• 有限可換半群の構造定理を適用し、$\mathcal{S}_{f(x)}^p$ を $f(x)$ の既約因子に対応する半群の直積に分解する。
• $f(x)$ が互いに非関連の既約多項式に分解可能な場合、同型 $\mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle \cong \prod_{i=1}^k \mathbb{F}_p[x]/\langle f_i(x)\rangle$ を適用する。
• 補題2.3を適用し、$C_n \cup \{\infty\}$ の形をした半群に対して、全半群のDavenport定数がその単元群のそれと等しいことを示す。
• ゼロ和自由列や和集合解析を含む群論的技法を用い、単元群 $U(\mathcal{S}_{f(x)}^p)$ における列を分析する。
• $(x+1)^2$ の場合について、ケースバイケースの検証を実施。単元群内および外の要素を含む列を分析し、Davenport定数の上限内で可約であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p > 2$ かつ $f(x)$ が $\mathbb{F}_p$ 上の互いに非関連の既約多項式の積に分解可能な場合、乗法的半群 $\mathcal{S}_{f(x)}^p$ のDavenport定数はその単元群 $U(\mathcal{S}_{f(x)}^p)$ のそれと等しいか？
• RQ2 $(x+1)^2$ のような重複既約因子を含む場合、$D(\mathcal{S}_{f(x)}^p) = D(U(\mathcal{S}_{f(x)}^p))$ の等式は拡張可能か？
• RQ3 すべての非定数 $f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ および $p > 2$ に対して、半群のDavenport定数がその単元群のそれと等しいとみなせるか？

主な発見

• 任意の素数 $p > 2$ および $\mathbb{F}_p[x]$ 内の互いに非関連の既約多項式に分解可能な任意の多項式 $f(x)$ に対して、乗法的半群 $\mathcal{S}_{f(x)}^p$ のDavenport定数はその単元群のそれと等しい：$D(\mathcal{S}_{f(x)}^p) = D(U(\mathcal{S}_{f(x)}^p))$。
• 証明は、$f(x)$ が平方因子を持たない場合、剰余環が有限体の直積に分解されることに依拠し、問題が $C_n \cup \{\infty\}$ の形の半群に還元される。この場合、Davenport定数が単元群のそれと等しいことは既知である。
• $(x+1)^2$ の場合、単位元、非単位元、およびゼロを含む列を分析し、Davenport定数の上限内で可約であることを示すことにより、$D(\mathcal{S}_{(x+1)^2}^p) = D(U(\mathcal{S}_{(x+1)^2}^p))$ を検証した。
• 単元群 $U(\mathcal{S}_{(x+1)^2}^p)$ は、$\mathbb{F}_p$ 内で $a \neq b$ を満たすすべての一次多項式 $ax + b$ から構成され、乗法的部分群としての位数 $p(p-1)$ を持つ。
• 任意の長さ $D(U(\mathcal{S}_{(x+1)^2}^p))$ の列が、その要素が単元群に属するか否かにかかわらず、$\mathcal{S}_{(x+1)^2}^p$ 内で可約であることを示した。これは、同じ和を持つ真部分列を構成することで達成された。
• 非単位元をちょうど一つ含む列に対しても、残りの単位元要素の和集合が、非単位元と足したときに元の和を再現する値を含むことを示すことにより、可約であることが確認された。これにより、適切な真部分列が構成された。