[論文レビュー] Decay of correlation for expanding toral endomorphisms

Ai Hua Fan|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可観測関数のL²連続性のモジュラスを用いて、d次元トーラス上の拡大トーラス自己同型写像における相関の減衰に関する最適な境界を確立する。相関の減衰はΩf,2(λ⁻ⁿ)によって制御され、ホルダー関数に対しては指数的減衰を示し、L²連続性モジュラスのsummability条件の下で中心極限定理が成り立つ。この結果は、共役性を用いてウラム＝フォン・ノイマン写像のような系へ拡張される。

ABSTRACT

Let $A$ be an expanding endomorphism on the torus ${\Bbb T}^d = {\Bbb R}^d /{\Bbb Z}^d$ with its smallest eigenvalue $λ>1$. Consider the ergodic system $({\Bbb T}^d, A, μ)$ where $μ$ is Haar measure. We prove that the correlation $ρ_{f, g}(n)$ of a pair of functions $f, g \in L^2(μ)$ is controlled by the modulus of $L^2$-continuity $Ω_{f, 2}(λ^{-n})$ and that the estimate is to some extent optimal. We also prove the central limit theorem for the stationary process $f(A^n x)$ defined by a function $f$ satisfying $Σ_n Ω_{f,2}(λ^{-n})

研究の動機と目的

• 拡大トーラス自己同型写像における相関減衰の速度に対する鋭い、最適な推定を確立すること。
• ホルダー型正則性を一般化するL²連続性モジュラスΩf,2(δ)を用いて減衰速度を特徴付けること。
• Ωf,2(δ)/δのsummability条件を導入することで、ホルダー関数や有界 variation を持たない弱い正則性の可観測関数に対しても中心極限定理を拡張すること。
• テント写像との共役性を用いて、ウラム＝フォン・ノイマン写像に結果を適用し、対数的可観測関数の減衰率を示すこと。

提案手法

• 拡大自己同型写像Aの逆分岐のための数字集合Dを用いて定義される転送作用素Lの使用。
• 重要な推定式の確立：f ∈ Lr(μ)でr ∈ [1, ∞]のとき、||Ln f||r ≤ C Ωf,r(λ⁻ⁿ)、ここでλ > 1はAの最小固有値。
• 転送作用素の推定を用いて、相関ρf,g(n) = ∫f·g∘An dμ − ∫fdμ∫gdμをC‖g‖₂ Ωf,2(λ⁻ⁿ)で上から抑える。
• ウラム＝フォン・ノイマン写像とテント写像との間の共役性を用いて、トーラス自己同型写像から区間写像への結果の転送。
• パーソバルの恒等式とフーリエ級数を用いて、g(y) = log|y|のときのΩg∘h,2(δ)を推定し、√δ型の減衰を示す。
• 条件∫₀¹ Ωf,2(t)/t dt < ∞を満たすことを確認することで中心極限定理を証明し、正規化されたバーキホフ和のガウス型収束を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L²可観測関数に対して、拡大トーラス自己同型写像下での相関減衰の最適速度は何か？
• RQ2 L²連続性モジュラスΩf,2(δ)は、この文脈における相関の減衰をどのように制御するか？
• RQ3 ホルダー連続性や有界 variation よりも弱い正則性の可観測関数に対しても中心極限定理を拡張できるか？
• RQ4 ウラム＝フォン・ノイマン系における非滑らか可観測関数（例：log|y|）に対してどのような減衰率が得られるか？
• RQ5 共役性を介して、非一様に拡大する系へ転送作用素法をどの程度適応できるか？

主な発見

• 相関減衰速度はC‖g‖₂ Ωf,2(λ⁻ⁿ)で抑えられ、これは一般のL²関数に対しては改善できない最適な境界である。
• ホルダー連続関数に対しては指数的減衰O(λ⁻αn)（α ∈ (0,1)）が成立し、既知の結果と一致する。
• f ∈ L²で∫₀¹ Ωf,2(t)/t dt < ∞を満たすとき、中心極限定理が成り立ち、漸近分散はσ² = −∫f² dμ + 2∑ₙ≥₀ ∫f(x)f(Aⁿx) dμで与えられる。
• ウラム＝フォン・ノイマン写像に対して、転送作用素のノルムは||LUⁿ f||₂ ≤ C·2⁻αⁿ（f ∈ Lipα）を満たし、||LUⁿ g||₂ ≈ 2⁻ⁿ（g(y) = log|y|）が成り立つ。
• log|h(x)| = log|sin(πx/2)|のL²連続性モジュラスはC√δで抑えられ、転送作用素ノルムにおいて√δ型の減衰が生じる。
• log|(Un)′(y)|の正規化されたバーキホフ和は、中心がゼロのガウス分布に分布収束し、分散はリャプノフ指数log 2に関連する。