[論文レビュー] Decay of the Kolmogorov $N$-width for wave problems

Constantin Greif, Karsten Urban|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不連続な初期条件を伴う双曲型波動方程式の解多様体に対するコルモゴロフ $N$-幅が、$\mathcal{O}(N^{-1/2})$ 以下にしか減少しないことを確立しており、射影に基づくモデル還元の近似速度が遅いことを示している。この結果は、解空間内に直交関数を構成し、有限次元部分空間における最良近似誤差の上限を用いることで得られる。

ABSTRACT

The Kolmogorov $N$-width $d_N(\mathcal{M})$ describes the rate of the worst-case error (w.r.t.\ a subset $\mathcal{M}\subset H$ of a normed space $H$) arising from a projection onto the best-possible linear subspace of $H$ of dimension $N\in\mathbb{N}$. Thus, $d_N(\mathcal{M})$ sets a limit to any projection-based approximation such as determined by the reduced basis method. While it is known that $d_N(\mathcal{M})$ decays exponentially fast for many linear coercive parametrized partial differential equations, i.e., $d_N(\mathcal{M})=\mathcal{O}(e^{-βN})$, we show in this note, that only $d_N(\mathcal{M}) =\mathcal{O}(N^{-1/2})$ for initial-boundary-value problems of the hyperbolic wave equation with discontinuous initial conditions. This is aligned with the known slow decay of $d_N(\mathcal{M})$ for the linear transport problem.

研究の動機と目的

• パrametrized双曲型波動問題における不連続な初期条件を伴う場合のコルモゴロフ $N$-幅の減少率を分析すること。
• 低次元基底法（例：低次元基底法）が、このような問題に対して高速（指数的）収束を達成できるかどうかを特定すること。
• 線形輸送問題における遅い $N$-幅減少の既知の結果を、2階双曲型波動方程式へと拡張すること。
• 解多様体の任意の $N$ 次元線形部分空間に対する最悪近似誤差の下界を確立すること。
• 不連続な初期データを伴う波動問題において、$\mathcal{O}(N^{-1/2})$ の遅い減少率が、輸送方程式と同様の挙動を示すように、本質的であることを示すこと。

提案手法

• $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+$ 上の2階波動方程式の初期境界値問題を、不連続な初期条件を伴って定式化する。
• 分布的解の概念を用いて、すべての $\mu \geq 0$ に対する解 $u_\mu$ の集合として解多様体 $\mathcal{M}$ を定義する。
• $L^2(\Omega_I)$ 内に存在する有限個の直交関数 $\tilde{\psi}_i$ を構成し、$N$-幅の下界を評価する。
• 補題 4.1 を適用して、有限集合の $N$-幅と標準基底 $\{e_1, \dots, e_{2N}\}$ の $N$-幅を関連づけ、$d_N(\tilde{\Psi}_{2N}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を得る。
• 不等式鎖 $d_N(\mathcal{M}) \geq d_N(\Phi_{2N}) \geq \frac{1}{2} d_N(\Psi_{2N})$ を用いて、最終的な下界を導出する。
• 直交関数の構成とスケーリングの議論を組み合わせることで、$d_N(\mathcal{M}) \geq \frac{1}{4} N^{-1/2}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続な初期条件を伴う双曲型波動方程式の解多様体に対するコルモゴロフ $N$-幅の減少率は何か？
• RQ2 線形輸送問題で観察された遅い $N^{-1/2}$ 減少は、2階双曲型偏微分方程式に対しても成立するか？
• RQ3 射影に基づく近似法は、このような波動問題に対して指数的収束を達成できるか？
• RQ4 $N^{-1/2}$ の減少率は、双曲型問題におけるモデル還元の根本的制限であるか？
• RQ5 初期条件に不連続性が存在する場合、解多様体の近似特性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 不連続な初期条件を伴う波動方程式の解多様体に対するコルモゴロフ $N$-幅は、$\mathcal{O}(N^{-1/2})$ 以下にしか減少しない。
• 不連続な初期データを伴う波動方程式に対して、$d_N(\mathcal{M}) \geq \frac{1}{4} N^{-1/2}$ の下界が厳密に確立された。
• 減少率 $\mathcal{O}(N^{-1/2})$ は、線形輸送問題と一致しており、近似速度の共通する根本的制限を示している。
• この結果は、このような波動問題に対する低次元基底法が指数的収束を達成できないことを示しており、その効率性に制限をもたらす。
• 遅い減少は解多様体に内在しており、滑らかなジャンプを伴う連続な初期条件に対しても持続する。
• 証明は、$L^2$ 内に有限個の直交関数を構成し、それらの性質を用いて $N$-幅の下界を評価することに依存している。